4.2.2 Energetické spektrum

Množinu všech energií přípustných v rámci kvantověmechanického popisu studovaného systému, tzv. vlastních energií (energetických hladin), nazýváme energetickým spektrem systému.

Ze všech klasicky přípustných energií jsou vybírány okrajovými podmínkami pro stacionární Schrödingerovu rovnici.

Diskrétní a spojité energetické spektrum

Energie, pro něž jsou odpovídající stacionární vlnové funkce kvadraticky integrovatelné, nazveme energiemi diskrétními, nebo též diskrétními energetickými hladinami.

Kvadraticky integrovatelné vlnové funkce reprezentují realizovatelný stav studované částice, diskrétní energetické hladiny tedy odpovídají ostrým hodnotám energie, kterých může studovaný systém nabývat.

Diskrétních energií může být pro každý systém nejvýše spočetně mnoho a jsou navzájem odděleny konečnými intervaly energií zakázaných. Můžeme je tedy očíslovat pomocí celých čísel, která obvykle nazýváme hlavními kvantovými čísly. Množina všech diskrétních energií tvoří tzv. diskrétní část energetického spektra systému. V této části energetického spektra se může energie systému měnit jen skokem, je tedy kvantována. Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá základním stavem, ostatní stavy excitovanými.

Všimněte si, že oproti staré kvantové teorii není kvantování energie v rámci kvantové mechaniky nezávislým postulátem, ale pouhým důsledkem stacionární Schrödingerovy rovnice a jí odpovídajících okrajových podmínek (které vyplývají z prvního Bornova postulátu).

Množinu energií odpovídajících vlnovým funkcím, které sice nejsou kvadraticky integrovatelné, a nereprezentují tedy žádný fyzikálně realizovatelný stav systému, ale nedivergují v nekonečnu, nazveme spojitou částí energetického spektra.

Energie ze spojité části spektra nemohou být studovaným systémem ostře nabývány. Vždy však můžeme zkonstruovat integrální lineární kombinace stacionárních vlnových funkcí odpovídajících jen málo odlišným energiím ze spojité části energetického spektra. A takové lineární kombinace již realizovatelný stav systému reprezentovat mohou. Částice sice nebude mít v podobném stavu ostře definovanou energii, její kvantověmechanické fluktuace však mohou být velmi malé a zaniknout popř. v experimentálních chybách. Nebudou proto měřitelné a energii systém můžeme s jistou mírou nepřesnosti považovat za (v rámci experimentálních chyb) „přesně“ danou.

O energetickém spektru, jehož spojitá část je prázdná, hovoříme jako o spektru čistě diskrétním. Naopak spektrum bez diskrétních energetických hladin nazveme spektrem čistě spojitým.

Příkladem systémů s čistě diskrétním spektrem mohou být částice v jednorozměrné potenciálové jámě nekonečné hloubky, částice v trojrozměrné potenciálové jámě nekonečné hloubky, lineární harmonický oscilátor, trojrozměrný harmonický oscilátor a tuhý rotátor. Čistě spojité spektrum má například volná částice a smíšené energetické spektrum nacházíme kupříkladu u částice v potenciálové jámě konečné hloubky.

Ortogonalita stacionárních vlnových funkcí

Prostorové části stacionárních vlnových funkcí a odpovídajících různým diskrétním energiím a splňují následující relaci (ověřte pro jednoduché kvantověmechanické systémy)

Tu můžeme pomocí bra-ketové symboliky přepsat do formálně jednoduššího tvaru

Protože však symbol označuje současně i skalární součin na stavovém prostoru systému, interpretujeme výše uvedené formule jako vyjádření ortogonality stacionárních vlnových funkcí. Snadno se totiž přesvědčíme, že v libovolném čase stejné relace splňují i stacionární vlnové funkce samotné, nejen jejich prostorové části.

V případě systému s čistě diskrétním spektrem, jehož stacionární vlnové funkce jsou normovány k jedničce, můžeme proto pro libovolnou dvojici vlnových funkcí psát

kde d je Kroneckerův symbol.

Degenerace energetických hladin

Z homogenity stacionární Schrödingerovy rovnice i připojených okrajových podmínek vyplývá, že splňuje-li prostorová část stacionární vlnové funkce pro vybranou hodnotu energie z diskrétní či spojité části energetického spektra stacionární Schrödingerovu rovnici a současně i odpovídající okrajovou podmínku, splňuje obé i její libovolný násobek.

Řešení stacionární Schrödingerovy rovnice není tedy pro zadanou hodnotu energie určeno bezezbytku jednoznačně. Vždy totiž existuje volnost ve volbě multiplikativního faktoru.

Jedná-li se o jedinou nejednoznačnost, nazveme odpovídající energii nedegenerovanou. Často též hovoříme o nedegenerované energetické hladině. Pokud ale naopak závisí pro danou energii řešení stacionární Schrödingerovy rovnice i na dalších volně nastavitelných konstantách, hovoříme o energii degenerované nebo též o degenerované energetické hladině.

Poněkud přesnější popis degenerace energetické hladiny můžeme podat, uvědomíme-li si, že množina všech řešení stacionární Schrödingerovy rovnice tvoří pro vybranou energii z diskrétní či spojité části energetického spektra lineární vektorový prostor. Je-li dimenze tohoto prostoru rovna jedné, jedná se zřejmě o hladinu nedegenerovanou. Je-li naopak větší než jedna, je příslušná energetická hladina degenerovaná.

Příkladem systémů s nedegenerovanými energetickými hladinami mohou být částice v jednorozměrné potenciálové jámě nekonečné hloubky a lineární harmonický oscilátor. Degenerované energetické hladiny má naopak kupříkladu volná částice. Částice v trojrozměrné potenciálové jámě nekonečné hloubky, trojrozměrný harmonický oscilátor či tuhý rotátor mají některé hladiny degenerované a jiné nikoliv.

---

---