6.4 Hilbertův prostor
Níže podáváme stručný výklad některých použitých pojmů. Bližší poučení lze nalézt např. v učebnici Formánkově [1].
Lineární vektorový prostor
(Komplexní) lineární vektorový prostor (LVP) je libovolná
množina V, na které jsou definovány operace sčítání
a násobení
(komplexním) číslem splňující níže uvedené axiomy. Prvky LVP nazýváme vektory
a v souladu s konvencí přijatou v kvantové teorii je budeme označovat symboly 
ap.
·
·
·
·
·
·
·
Vektor 
se obvykle nazývá nulovým
vektorem. Násobek vektoru číslem,
budeme někdy
označovat alternativním symbolem 
Podobně i pro součet 
užijeme občas
ekvivalentní zápis 
Podle výše řečeného tedy existuje zobrazení 
které každé dvojici
vektorů 
a 
z V přiřazuje
jejich součet 
a zobrazení 
které komplexnímu
číslu a a vektoru
přiřazuje násobek 
Tyto operace musí
splňovat výše uvedenou soustavu axiomů platných pro všechny vektory z V a
všechna komplexní čísla.
Pod skalárním součinem na LVP V
rozumíme zobrazení 
které libovolné
dvojici vektorů z V přiřazuje (komplexní) číslo a splňuje níže
uvedenou soustavu axiomů. Skalární součin vektorů a budeme označovat v
souladu se zvyklostmi zažitými v kvantové teorii symbolem 
·
·
·
·
Hvězdičkou označujeme v prvním axiomu komplexní sdružení.
Pomocí skalárního součinu definujeme dále na V tzv. Eukleidovskou normu vektoru
Úplnost LVP se skalárním součinem
Z matematické analýzy víme, že každá posloupnost 
reálných (či
komplexních) čísel splňující tzv. Cauchyovu podmínku
má limitu, je konvergentní. Na obecném LVP se skalárním
součinem však posloupnost vektorů 
splňujících Cauchyovu
podmínku
konvergentní nutně být nemusí. Její eventuální limita může např. ležet mimo prostor V.
Separabilita
Hilbertovy prostory, které hrají významnou roli v kvantové teorii, jsou separabilní. Osvětleme proto stručně i tento pojem.
Obecná definice separability Hilbertova prostoru je komplikovaná a zcela překračuje rámec této encyklopedie. Pro naše účely postačí, budeme-li pod
separabilním
Hilbertovým prostorem rozumět takový Hilbertův prostor V, na
němž existuje nejvýše
spočetná množina vektorů
taková, že libovolný
vektor můžeme psát jako
lineární kombinaci 
V případě nekonečněrozměrných prostorů přechází suma na levé straně na nekonečnou řadu
jejíž konvergenci vyšetřujeme pomocí výše zavedené Eukleidovské normy.
[1] FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 712-721.
