4.2.1 Okrajové podmínky pro stacionární Schrödingerovu rovnici

Stacionární Schrödingerova rovnice je parciální diferenciální rovnicí. Má-li být její řešení určeno (až na multiplikativní faktor) jednoznačně, musí být proto splněny jisté okrajové podmínky omezující chování vlnové funkce v prostorovém nekonečnu.

Okrajová podmínka I

Reprezentuje-li vlnová funkce fyzikálně realizovatelný stav částice, omezuje její chování v asymptotické oblasti první Bornův postulát. Taková vlnová funkce musí být totiž v libovolném čase kvadraticky integrovatelná, což pro stacionární vlnovou funkci znamená, že

Má-li být ovšem tato podmínka splněna, musí prostorová část stacionární vlnové funkce konvergovat v nekonečnu k nule (pozn.):

A to dostatečně rychle, rychleji než

Okrajová podmínka II

Podle principu superpozice je možné libovolnou vlnovou funkci reprezentující fyzikálně realizovatelný stav částice, tedy vlnovou funkci kvadraticky integrovatelnou, získat jako lineární kombinaci (obecně nekonečnou) stacionárních vlnových funkcí - řešení stacionární Schrödingerovy rovnice.

Pro mnoho systémů však kvadraticky integrovatelné stacionární vlnové funkce - tedy ta řešení stacionární Schrödingerovy rovnice, která splňují okrajovou podmínku typu I - k tomuto účelu nestačí. Musíme k nim přidat ještě další řešení, která sice nejsou kvadraticky integrovatelná, a nereprezentují tedy žádný fyzikálně realizovatelný stav studované částice, jsou však nezbytná pro doplnění kvadraticky integrovatelných funkcí na úplný systém.

Ukazuje se, že tyto dodatečné stacionární vlnové funkce nedivergují v prostorovém nekonečnu a jsou v asymptotické oblasti prostoru omezené. Pro každou z těchto vlnových funkcí existuje tedy kladná konstanta K  taková, že

pro každé splňující

kde je vhodně zvolená vzdálenost od počátku souřadnic.

Jednorozměrné stacionární vlnové funkce

V případě jednorozměrné stacionární Schrödingerovy rovnice musí její řešení splňovat výše uvedené okrajové podmínky v poněkud modifikovaném tvaru:

a tedy i

pro vlnové funkce reprezentující realizovatelný stav studované částice a

pro každé x splňující

pro ostatní stacionární vlnové funkce. Podobně jako výše je vhodně zvolená vzdálenost od počátku souřadnicové osy a K  pevně zvolená kladná konstanta.

( )

Pamatujme si však, že konvergence vlnové funkce k nule není postačující, ale pouze nutnou podmínkou kvadratické integrovatelnosti. Při jejím použití musíme být proto obezřetní.

---

---