4.2 Stacionární Schrödingerova rovnice
Stavy bodové částice s přesně zadanou energií reprezentujeme v poli časově nezávislého potenciálu monochromatickými de Broglieho vlnami. Ty popisujeme tzv. stacionárními vlnovými funkcemi
v nichž je separována závislost na prostorových proměnných od závislosti časové.
Zatímco časová závislost je pro monochromatické de Broglieho
vlny explicitně daná, prostorová část vlnové funkce 
se mění podle
charakteru konkrétního potenciálu 
pod jehož vlivem se
částice nachází. V této kapitole si ukážeme, jak potenciál tvar prostorové
části stacionární vlnové funkce ovlivňuje prostřednictvím tzv. stacionární
(bezčasové) Schrödingerovy rovnice [1], [2]
Sestavení stacionární Schrödingerovy rovnice
Je jistě rozumné předpokládat, že de Broglieho vlny, stejně jako kterékoliv jiné vlnění, s nímž se ve fyzice setkáváme, splňují univerzální vlnovou rovnici
kde D je Laplaceův operátor a 
fázová rychlost de
Broglieho vln. Po dosazení stacionární vlnové funkce do této rovnice (a po
snadných úpravách) získáme rovnici pro její prostorovou část
Tu můžeme dále upravit, uvědomíme-li si, že 
kde k je velikost vlnového vektoru de Broglieho
vlny, a že podle de Broglieho
vztahů zobecněných na případ částice v poli vnějšího potenciálu
můžeme dále psát 
Výše uvedená rovnice
tedy nabývá tvaru
Pro časově nezávislý potenciál 
se však zachovává
celková energie částice E,
a pro kvadrát hybnosti částice můžeme tedy psát 
Po dosazení tohoto
výrazu do rovnice pro prostorovou část stacionární vlnové funkce získáme tak
nakonec po jednoduchých úpravách proslulou stacionární (bezčasovou) Schrödingerovu
rovnici
Energetické spektrum
Stacionární Schrödingerova rovnice je parciální diferenciální rovnicí druhého řádu. Musíme ji proto doplnit, jak víme z matematiky, okrajovými podmínkami. Teprve pak bude její řešení určeno víceméně jednoznačně.
Společně se stacionární Schrödingerovou rovnicí vybírají
okrajové podmínky ze všech klasicky přípustných energií systému jen některé,
které jsou přípustné i v rámci kvantového popisu. To znamená, že reálný
parametr E může nabývat ve výše uvedené rovnici pro konkrétní potenciál jen některých
vybraných hodnot. O množině těchto přípustných hodnot energie hovoříme
zpravidla jako o energetickém
spektru studovaného systému.
Jednorozměrná stacionární Schrödingerova rovnice
Provedeme-li výše uvedené úvahy pro jednorozměrné stacionární vlnové funkce, získáme postupem obdobným tomu, jaký jsme užili v obecném trojrozměrném případě, speciální tvar stacionární Schrödingerovy rovnice
který obvykle nazýváme jednorozměrnou stacionární Schrödingerovou rovnicí.
Jednorozměrná Schrödingerova rovnice je velmi důležitá zejména z didaktických důvodů. Jedná se totiž o obyčejnou diferenciální rovnici, kterou je možno zpravidla řešit mnohem jednoduššími matematickými prostředky než odpovídající rovnici obecnou. Navíc pro mnohé trojrozměrné systémy umíme obecnou, trojrozměrnou stacionární Schrödingerovu rovnici převést na jednu či více rovnic jednorozměrných. O konkrétní postupech k tomu užívaných více v části věnované jednoduchým kvantověmechanickým systémům.
[1] SCHRÖDINGER, E. Annalen der Physik, 1926, Bd. 79, S. 361.
[2] SCHRÖDINGER, E. Annalen der Physik, 1926, Bd. 79, S. 489.
