4.1.9 Obecná reprezentace stavu v kvantové teorii
Prostor stavů
Stavy jednočásticového systému popisujeme obvykle v kvantové mechanice pomocí kvadraticky integrovatelných vlnových funkcí (viz důsledky prvního Bornova postulátu). Kvadraticky integrovatelná vlnová funkce zadává tedy v konkrétním čase kvantový stav studovaného systému. Odhlédněme v tuto chvíli od všudypřítomného časového vývoje a závislost vlnových funkcí na čase neuvažujme. Množinu všech stavů jednočásticového systému můžeme takto ztotožnit s množinou všech (komplexních) kvadraticky integrovatelných funkcí tří reálných proměnných. O této množině však fyzikové i matematikové v době formulování základů kvantové teorie věděli, že má speciální matematickou strukturu. Množina všech kvadraticky integrovatelných funkcí je separabilní Hilbertův prostor. Toto poznání vedlo anglického fyzika P. Diraka k postulování tvrzení:
Prvky tohoto abstraktního prostoru můžeme v konkrétních výpočtech a aplikacích reprezentovat speciálním způsobem - vlnovými funkcemi v x‑reprezentaci, vlnovými funkcemi v p-reprezentaci, či dokonce úplně jinak - např. nekonečnými posloupnostmi komplexních čísel. Podrobnější analýza ukazuje, že konkrétní speciální reprezentace stavového Hilbertova prostoru odpovídají, zhruba řečeno, speciálním volbám báze na něm.
Konstrukce prostoru stavů
Při konstrukci abstraktního Hilbertova prostoru stavů zohlednil Dirac dvě vůdčí ideje kvantové teorie
· kvantování některých veličin (tj. fakt, že některé veličiny mohou nabývat jen vybraných hodnot, kterých je obvykle spočetně mnoho),
· existenci veličin, které nelze současně měřit neomezeně přesně (viz např. Heisenbergovy relace neurčitosti).
Měření vůbec hraje v kvantové teorii dominantní roli. Spolu s teorií relativity totiž kvantová teorie snad poprvé v dějinách novodobé vědy explicitně přiznává, že úkolem každé teorie je systematizace, popis a vysvětlení výsledků pozorování a experimentů, měření. Proto Dirac ve své konstrukci stavového prostoru z pojmu měření vychází.
Stav systému v kvantové mechanice zadáváme hodnotami měřitelných veličin, pozorovatelných. Veličiny, které můžeme současně měřit neomezeně přesně (např. složky polohového vektoru), budeme nazývat kompatibilními pozorovatelnými. Podle potřeby je můžeme sdružovat do skupin, které nazýváme množinami kompatibilních pozorovatelných. Pozor však, kompatibilita pozorovatelných není tranzitivní! Významnou roli hrají v kvantové teorii tzv. úplné množiny kompatibilních pozorovatelných (ÚMKP), k nimž již žádnou další pozorovatelnou, kompatibilní se všemi ostatními, nemůžeme přidat.
Vyberme si jednu z těchto ÚMKP - 
Nechť všechny
v ní obsažené veličiny jsou kvantovány a výsledky jejich současného měření
tvoří spočetnou množinu uspořádaných n-tic reálných čísel 
Přípustné
výsledky měření veličin 
přitom
odlišujeme pomocí tzv. kvantových čísel 
Dirac
předpokládal, že každé takové n-tici odpovídá vektor ve stavovém prostoru
systému. Tento vektor obvykle označujeme symbolem 
Podle Diraka jsou navíc vektory odpovídající
různým výsledkům měření zvolené ÚMKP navzájem ortogonální a na Hilbertově
prostoru stavů tvoří bázi. Každý stavový vektor
můžeme tedy
zapsat jako (obecně spočetnou) lineární kombinaci vektorů 
,
kde 
jsou komplexní
konstanty – souřadnice vektoru v bázi .
Reprezentujeme-li Hilbertův prostor stavů pomocí množiny
kvadraticky integrovatelných vlnových funkcí, odpovídají vektorům vlnové funkce
speciálního tvaru.
Výše naznačenou konstrukci můžeme pochopitelně provést i pro další ÚMKP, které definují na prostoru stavů alternativní bázové systémy. Každá ÚMKP je ke konstrukci Hilbertova stavového prostoru stejně vhodná.
Poznámka
Podrobná analýza obecné reprezentace stavu v kvantové teorii se zcela vymyká rámci této encyklopedie. Vynikající pojednání o tomto problému je možno najít např. v původní práci Dirakově [1] nebo v monografii Formánkově [2].
[1] DIRAC, PAM. The Principles of Quantum Mechanics. 3rd ed. Cambridge: University Press,
1947. 311 s.
[2] FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s.
