4.9.9 Lineární harmonický oscilátor

 

Potenciál

 

Lineární harmonický oscilátor je modelový systém zahrnující částici vázanou na přímku, která se nachází v poli sil popsaných potenciálem

kde  g  je kladná konstanta. Typický průběh potenciálu  V  znázorňuje obrázek.

 


 

Tento model je ve fyzice mimořádně významný a užitečný, protože malé kmity naprosté většiny reálných systémů kolem jejich rovnovážných poloh je možno s dostatečnou přesností popsat právě pomocí kvadratického potenciálu.

 

V poli tohoto potenciálu budeme studovat stacionární stavy a pohyb jediné částice, jejíž hmotnost označme  M.

 

Stacionární stavy

 

Podrobné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je možno pro studovaný systém najít zde. Z něj vyplývá, že

 

energetické spektrum lineárního harmonického oscilátoru je čistě diskrétní a nedegenerované. Přípustné hodnoty celkové energie jsou dány vztahem

kde   je, podobně jako v klasickém případě, úhlová frekvence oscilátoru a kvantové číslo  n  nabývá nezáporných celočíselných hodnot.

 

Těmto energiím odpovídají až na multiplikativní konstantu jednoznačně určené vlastní vlnové funkce, které je možno po normalizaci k jedničce psát ve tvaru


Symbolem    označujeme Hermiteův polynom n-tého stupně (viz též [1] a [2]). Průběh kvadrátů modulů vlnových funkcí    znázorňuje pro vybrané volby kvantového čísla  n  následující obrázek.

Časový vývoj

 

Podrobné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice pro systémy s čistě diskrétním spektrem je možno najít zde. Z něj pro lineární harmonický oscilátor vyplývá, že časový vývoj vlnové funkce  j,  pro kterou je možno v počátečním čase    psát

 

je dán formulí

kde    a    jsou výše uvedené vlastní energie a odpovídající vlastní vlnové funkce lineárního harmonického oscilátoru.

 

Jako ilustraci uvedené formule znázorňuje připojená animace časový vývoj  pro vlnové funkce, které jsou v  počátečním čase  dány superpozicí dvou sousedních stacionárních stavů,

 

 

Literatura

[1]           FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 793-796.

[2]           REKTORYS, K., aj. Přehled užité matematiky. 4. vyd. Praha: SNTL, 1981. 1139 s. s. 607.


Předchozí     Následující