4.1 Vlnová funkce
Vlnová funkce - proč a jak?
Nový pohled, jenž do částicové mechaniky vnesla de Broglie vlnová hypotéza, vyžaduje přebudování aparátu, jehož pomocí popisujeme stav a časový vývoj částicových systémů. V tuto chvíli se věnujme reprezentaci stavu. Popis časového vývoje, tj. formulaci pohybové rovnice kvantové mechaniky, uvádíme na jiném místě.
Pro inspiraci se obraťme k těm oborům fyziky, kterým jsou
vlnové představy vlastní. Například k teorii elektromagnetického pole. I zde se
totiž setkáváme s vlněním, tzv. elektromagnetickými vlnami reprezentovanými
periodickými prostoročasovými změnami vektorových polí elektrické a magnetické
intenzity. Elektromagnetické vlny proto popisujeme dvojicí vektorových
funkcí, 
a 
, čtyř reálných
proměnných - tří souřadnic polohového vektoru a jedné proměnné časové. Na
uvedené vektorové funkce můžeme rovněž pohlížet, odhlédneme-li od
transformačních vlastností trojrozměrných vektorů, jako na šestici funkcí
skalárních.
Je jistě přijatelný předpoklad, že obdobně můžeme postupovat i nyní, tj.:
De Broglieho vlnu
přiřazenou studované částici popíšeme v obecném případě n komplexními funkcemi 
polohového vektoru a
času. O těchto funkcích hovoříme zpravidla jako o funkcích vlnových.
V rámci nerelativistické kvantové fyziky vystačíme obvykle s
jedinou vlnovou funkcí. Ovšem i vícekomponentní vlnové funkce mají v
kvantové teorii své nezastupitelné místo. Používají se tehdy, je-li nutno
explicitně započítat spin
studované částice, a zejména pak v rámci relativistické kvantové teorie.
Jednokomponentní vlnovou funkci 
naopak používáme při
popisu částice s nulovým spinem nebo pokud spin částice zanedbáváme.
Výše uvedený aparát popisu jednočásticového systému pomocí
vlnových funkcí je možno zobecnit i na systémy vícečasticové. Je pouze nutné
rozšířit počet argumentů vlnové funkce tak, aby každé částici odpovídal jeden
polohový vektor. V nejjednodušším případě tedy můžeme systému N částic přiřadit vlnovou funkci 
neboli 
Podrobněji však o
popisu vícečásticových systémů pojednáváme na jiném místě. V následujícím výkladu se
budeme věnovat výhradně systémům jednočásticovým.
Speciální tvary vlnových funkcí
Mezi všemi vlnovými funkcemi jednočásticového systému si některé zasluhují zvýšenou pozornost. Jsou to zejména vlnové funkce odpovídající
· rovinným monochromatickým de Broglieho vlnám reprezentujícím stavy volné částice s ostře definovanou hybností a energií,
· monochromatickým de Broglieho vlnám reprezentujícím stavy částice s ostře definovanou energií v poli vnějších sil,
· vlnovým balíkům reprezentujícím fyzikálně realizovatelné stavy volné částice s dostatečně ostře definovanou energií a hybností.
Samotné rovinné monochromatické de Broglieho vlny sice nereprezentují žádný fyzikálně realizovatelný stav volné částice (viz též důsledky prvního Bornova postulátu), jsou však velmi významné při formulaci jednoho z ústředních principů kvantové mechaniky - principu superpozice - a při přechodu k tzv. p-reprezentaci vlnové funkce.
V jistých situacích, zpravidla z důvodu jednoduchosti, je
výhodné pracovat s částicí vázanou na přímce. Stavy takové částice
popisujeme pomocí vlnové funkce, která z pochopitelných důvodů závisí pouze na
jediné prostorové proměnné, obvykle označované
x: 
Statistická interpretace vlnové funkce
Velmi názornou interpretaci dal vlnové funkci ve druhé polovině 20. let 20. století německý fyzik M. Born. Jeho myšlenky je možno shrnout do dvou postulátů - dnes nazývaných první a druhý Bornův postulát, které jsou nedílnou součástí axiomatického základu moderní kvantové teorie. Pomocí Bornových postulátů určujeme střední hodnoty a fluktuace polohy a hybnosti částice ve stavu popsaném zadanou vlnovou funkcí. Hrají rovněž významnou roli při formulaci proslulého Heisenbergova principu neurčitosti.
Obecná reprezentace stavu v kvantové teorii
Popis stavů kvantových systémů pomocí vlnových funkcí, který je přímo inspirován de Broglieho vlnovou hypotézou, není jediný možný. Souběžně s formulací vlnové mechaniky vytvořil německý fyzik W. Heisenberg svou mechaniku maticovou [1]. Zobecnění obou popisů provedl a jejich ekvivalenci dokázal na přelomu 20. a 30. let 20. století anglický fyzik P. Dirac. Podrobná analýza Dirakova přístupu však zcela překračuje rámec této encyklopedie, stručné nastínění základních idejí je možno nalézt zde. Z nich využijeme především proslulou Dirakovu bra-ketovou symboliku, která často významně zjednodušuje zápisu formulí a vzorců, s nimiž se v kvantové teorii setkáváme, a tím činí matematický formalismus kvantové teorie přehlednějším.
[1] HEISENBERG,
W. Zeitschrift für Physik, 1925, Bd.
33, S. 879.
Všimněte si,
že v kvantové teorii pracujeme obecně s komplexními vlnovými funkcemi. Vždy
ovšem můžeme přejít k rovnocennému popisu pomocí dvojnásobného počtu
funkcí reálných, kdy každou komplexní funkci reprezentujeme její reálnou a
imaginární částí.
