4.7 Kvantová mechanika a teorie relativity
V rámci Dirakovy operátorové formulace nečiní zahrnutí základních principů speciální teorie relativity do schématu kvantové mechaniky vážné potíže. Stačí najít s využitím principu korespondence relativistický Hamiltonův operátor studovaného systému a jeho pomocí formulovat relativistickou verzi stacionární či nestacionární Schrödingerovy rovnice.
Níže si ukážeme, jak je možno tento obecný program naplnit alespoň v nejjednodušším případě systému obsahujícího jedinou volnou částici. Je však třeba předeslat, že relativistické efekty, projevující se zejména v oblasti vysokých energií, narušují základní postulát kvantové mechaniky o zachování počtu a typu částic v popisovaném systému. Plného skloubení speciální teorie relativity a kvantových představ se proto podařilo dosáhnout až v rámci kvantové teorie pole.
Relativistický vzorec pro celkovou energii volné částice
kde 
je hybnost studované
částice, 
její klidová hmotnost
a c
rychlost světla
ve vakuu, převedeme snadno pomocí principu korespondence do operátorového tvaru
v němž symbolem D označujeme Laplaceův operátor.
Pomocí takto zkonstruovaného Hamiltonova operátoru již bez
obtíží nalezneme i relativistickou verzi nestacionární Schrödingerovy rovnice
Struktura diferenciálního operátoru na levé straně získané rovnice je však díky přítomnosti Laplaceova operátoru pod odmocninou velmi komplikovaná, a proto se ji pokusme zjednodušit.
Nabízí se přímočaré řešení. Aplikací relativistického Hamiltonova operátoru na obě strany rovnice získáme
a spojením obou výrazů dále též
relativistickou kvantověmechanickou pohybovou rovnici, která se obvykle nazývá rovnicí Kleinovou-Gordonovou [1], [2].
Dosazením předpokládaného tvaru pro stacionární vlnové funkce je pak dále možno získat i odpovídající rovnici bezčasovou.
Do Kleinovy-Gordonovy rovnice je možno doplnit i členy reprezentující interakci studované částice s okolím. Například zahrnutí elektromagnetické interakce umožnilo aplikovat tuto rovnici na atom vodíku a získat tak relativistické korekce, které nejsou nerelativistickou Schrödingerovou teorií postiženy. Provedené výpočty však ukázaly, že Kleinova-Gordonova rovnice v tomto případě uspokojivé výsledky neposkytuje. Později byla zjištěna příčina tohoto selhání. Získaná rovnice totiž přesně popisuje pouze relativistickou dynamiku částic s nulovým spinem (např. p-mezonů, pionů). Pro částice se spinem nenulovým (např. elektrony) použitelná není. Pro takové částice musíme použít rovnici jinou. Tu na konci dvacátých let 20. století sestavil anglický fyzik P. Dirac.
Během řešení problému, jak v rámci kvantové mechaniky
formulovat relativisticky kovariantní pohybovou rovnici pro elektrony, Dirac
usoudil, že je nutné provést ve výše uvedeném výrazu pro relativistický
hamiltonián naznačenou odmocninu. V případě volné částice vypočítat tedy 
Výsledek naznačeného
odmocnění Dirac předpokládal ve tvaru
v němž 
označuje vektorový
operátor gradient.
Protože nelze nalézt takový vektor 
a číslo b,
aby naznačená rovnost byla splněna, obrátil Dirac svou pozornost k
maticím. Tedy je podle něj
uspořádaná trojice čtvercových matic a b čtvercová matice stejného typu.
V rámci tohoto zobecnění se Dirakovi podařilo kupř. zjistit, že nejmenší matice, které splňují podmínky vyplývající z výše uvedené rovnosti, mají čtyři řádky a sloupce. Úvahy, které však přesahují rámec našeho výkladu (podrobnosti je možno najít např. v [3]), vedou k závěru, že je možno tyto matice volit ve tvaru
a 
kde I
a 0 jsou jednotková a nulová matice 2 x 2
a 
matice Pauliho.
Nutno ovšem podotknout, že uvedené tvary matic
a b nejsou jediné možné. Kromě této tzv. Dirakovy
realizace existují i další reprezentace těchto matic, které jsou však s maticemi nalezenými Dirakem
ekvivalentní.
Maticovou reprezentaci relativistického hamiltoniánu je možno získat i pro částice s vyššími hodnotami spinu (viz např. [3]).
Relativistickou pohybovou rovnici pro volnou částici s nenulovým spinem, která se podle svého objevitele nazývá rovnicí Dirakovou [4], [5], můžeme nakonec napsat ve tvaru
nebo, zavedeme-li 
a 
ve tvaru častěji
používaném
I do Dirakovy rovnice je možno zahrnout interakci studované částice s okolím, například interakci elektromagnetickou.
[1] KLEIN,
O. Zeitschrift für Physik, 1926, Bd.
37, S. 895.
[2] GORDON,
W. Zeitschrift für Physik, 1926, Bd.
40, S. 117.
[3] FORMÁNEK,
J. Úvod do relativistické kvantové
mechaniky a kvantové teorie pole 1. 1. vyd. Praha: Karolinum, 2000. 344s.
ISBN 80-246-0060-9. s. 55-62.
[4] DIRAC, PAM. Proceedings of the Royal Society of London, 1928, vol. 117, p. 610.
[5] DIRAC,
PAM. Proceedings of the Royal Society of
London, 1928, vol. 118, p. 351.
Porovnejte tento výsledek (i název) s nerelativistickým popisem částic se spinem 1/2, kdy vystačíme s vlnovými funkcemi dvoukomponentními (spinory).
