4.1.1 Monochromatické de Broglieho vlny

Rovinné monochromatické de Broglieho vlny

De Broglie přiřazuje volné částici s přesně zadanou hybností a energií E vlny charakterizované ostrou hodnotou vlnového vektoru a úhlové frekvence w. Souvislost mezi částicovými a vlnovými parametry udávají de Broglieho vztahy.

Volné částici je přiřazena rovinná monochromatická vlna

kterou můžeme pomocí de Broglieho vztahů přepsat též do tvaru

Připomeňme, že stav volné částice s přesně definovanou hybností a energií není v rámci kvantové mechaniky přípustný.

Obecné monochromatické de Broglieho vlny

To, co není přípustné pro volné částice, je možno za jistých okolností realizovat v případě částic nacházejících se ve vnějším silovém poli. Částice se v takovém případě může nacházet ve stavu s přesně definovanou energií a v rámci de Broglieho teorie jí přiřazujeme monochromatickou vlnu, tentokrát však již nikoliv rovinnou. Speciální charakter takové vlny se projeví v separaci prostorové a časové závislosti odpovídající vlnové funkce:

Vlnové funkce výše uvedeného tvaru se obvykle nazývají stacionárními vlnovými funkcemi. Jejich prostorová část Y je dána řešením stacionární Schrödingerovy rovnice.

Stacionární vlnová funkce odpovídá částici s přesně definovanou a během časového vývoje se zachovávající energií. Z klasické mechaniky však víme, že se energie hmotného bodu zachovává pouze v časově neproměnných potenciálových polích. Monochromatická de Broglieho vlna tedy reprezentuje speciální stav bodové částice v časově neproměnném poli vnějších sil.

Podle prvního Bornova postulátu je fyzikálně relevantní pouze kvadrát absolutní hodnoty vlnové funkce. Pro stacionární vlnové funkce však platí a fyzikálně relevantní část vlnové funkce je tedy časově nezávislá. Odtud je zřejmý i původ názvu „stacionární vlnová funkce“.

Částice vázaná na přímku

Často je výhodné, zejména z důvodu snadné řešitelnosti konkrétních problémů a úloh, předpokládat, že se studovaná částice může pohybovat pouze podél zadané přímky. Souřadnici takové částice pak popisujeme jediným reálným parametrem x.

V takovém případě nabývají vlnové funkce reprezentující de Broglieho monochromatické vlny jednodušších tvarů:

pro rovinnou monochromatickou vlnu a

pro monochromatickou vlnu obecnou.

Uvedené tvary vlnových funkcí částice vázané na přímku budeme nazývat jednorozměrnými stacionárními vlnovými funkcemi.

Poznámka

V tuto chvíli by mohla být vyslovena oprávněná námitka, proč v případě rovinných monochromatických de Broglieho vln neuvažujeme i tvar

který rovněž vyhovuje vlnové rovnici, a pro obecnou monochromatickou vlnu i tvar

Důvod je poměrně prostý. Ukážeme si jej na jednoduchém případě rovinné monochromatické vlny.

Vlnová funkce popisuje totiž vlnu, jejíž rovinné vlnoplochy se šíří ve směru vlnového vektoru a tedy i ve směru hybnosti částice, jíž je tato vlna přiřazena. Na druhé straně však vlnová funkce zadává vlnoplochy šířící se ve směru tedy proti směru pohybu studované částice. První vlnová funkce je proto pro vlnový popis částice s hybností přijatelná a druhá musí být odmítnuta jako nefyzikální.

Ač podobnou úvahu nemůžeme provést pro obecnou monochromatickou vlnu, jistě nepřekvapí, že i v tomto, obecnějším případě předpokládáme časový faktor ve tvaru a nikoliv ve tvaru Abychom však byli korektní, uveďme, že zde odmítnuté tvary monochromatických vlnových funkcí hrají jistou roli v rámci relativistické kvantové mechaniky.

---

---