4.1.2 Vlnové balíky
Vlnová funkce reprezentující volnou částici
I v klasické fyzice je však nutno tvrzení, že nějaká
veličina - např. energie - nabývá ostře definované hodnoty, chápat jako
nadsázku. Hodnoty všech veličin totiž zjišťujeme měřením a každé měření je
zatíženo nenulovými experimentálními chybami. Korektní kvantitativní výpověď o
libovolné veličině X proto vždy současně s její
(střední) hodnotou 
udává i odhad chyby
měření této veličiny Dx.
Říkáme-li pak, že veličina X
nabývá hodnoty , máme vždy na mysli,
že ve skutečnosti může, zhruba řečeno, nabývat všech hodnot z intervalu 
To ovšem naznačuje
možnost, jak částici s dostatečně „ostře definovanou“ energií a hybností v
rámci de Broglieho vlnového
modelu reprezentovat.
Protože máme k dispozici nespočetné množství těchto vln, bude odpovídající lineární kombinace nabývat integrálního tvaru
kde funkční hodnoty 
jsou nenulové
(nezanedbatelné) pouze na „malém“ okolí vybrané hodnoty vlnového vektoru 
Závislost úhlové
frekvence w, vyskytující se v
integrandu výše uvedeného integrálu, na vlnovém vektoru 
je dána disperzní relací pro de
Broglieho vlny.
Pro vlnovou funkci 
navíc požadujeme, aby
byla silně lokalizována kolem vybraného bodu v prostoru. Tento předpoklad je
jistě přirozený, má-li reprezentovat bodovou
částici s dostatečnou přesností. Speciálně musí být tento požadavek splněn ve
zvoleném počátečním čase, např. t = 0. Pak ovšem funkce
může nabývat nezanedbatelných hodnot pouze na „malém“ okolí
vybraného bodu 
Šíření vlnového balíku prostorem - přiblížení prvního řádu
Výpočet integrálu popisujícího vlnový balík je v obecném
případě poměrně komplikovanou matematickou úlohou. Zjednodušit ji můžeme,
uvědomíme-li si, že k tomuto integrálu přispívá jeho integrand významně jen pro
hodnoty vlnového vektoru 
které jsou blízké
zvolené hodnotě Jinde jsou totiž
funkční hodnoty nulové (nebo alespoň
zanedbatelně malé). Proto můžeme argument imaginární exponenciály aproximovat v
počítaném integrálu pomocí Taylorova rozvoje na okolí bodu Pro jednoduchost se
omezíme na rozvoj prvního řádu v mocninách
kde 
označuje gradient
podle složek vlnového vektoru. Po jednoduchých úpravách můžeme pro vlnovou
funkci v uvedeném přiblížení
psát
a využijeme-li výše uvedené počáteční podmínky
též
Jak vyplývá z prvního Bornova postulátu, je přímo
měřitelný a fyzikálně podstatný pouze kvadrát absolutní hodnoty , pro který lze psát
Můžeme proto konstatovat, že s přesností do prvního
řádu v mocninách se vlnový balík
pohybuje prostorem rovnoměrně přímočaře rychlostí 
a jeho tvar se nemění.
Tuto rychlost nazýváme rychlostí grupovou. Pro de Broglieho vlny odpovídá
rychlosti částice s hybností 
Získaný výsledek je
tak zcela v souladu s očekáváním klasické mechaniky - volná částice se pohybuje
prostorem rovnoměrně přímočaře rychlostí, která jí byla udělena v počátečním
čase (1. Newtonův zákon).
Šíření vlnového balíku prostorem - neklasické efekty
Naprostý soulad klasického a vlnového popisu, kterého jsme
pro volnou částici v předcházejícím odstavci dosáhli, je dán lineárním přiblížením
pro argument imaginární exponenciály 
v jehož rámci jsme po
celou dobu pracovali. Pokud bychom započetli i další příspěvky Taylorova
rozvoje nebo celý výpočet provedli přesně, zjistili bychom, že vlnový popis
volné částice vede i k efektům, které klasická fyzika nepředpokládá. Jedním
z nich je tzv. rozplývání vlnového balíku, kdy se během času vlnový balík
nejen přemisťuje prostorem, ale současně mění i svůj tvar. Podrobná analýza
však vzhledem k matematickým komplikacím zcela přesahuje naše možnosti. Je ji
možno nalézt ve specializované literatuře [1].
Pohyb jednorozměrného vlnového balíku ilustruje připojená animace.
[1] FORMÁNEK,
J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd.
Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 195-200.
