4.5.6 Relace neurčitosti

 

Na jiném místě ukazujeme, že střední kvadratické fluktuace hybnosti a polohy částice nejsou nezávislé veličiny. Nyní si ukážeme, že k obdobným závěrům můžeme dospět i pro další dvojice veličin, k čemuž s velkým užitkem využijeme Dirakovy operátorové reprezentace dynamických proměnných. Důsledně též budeme používat bra-ketovou symboliku.

 

Relace neurčitosti

 

Nechť   a   jsou samosdružené operátory, které v rámci kvantové mechaniky přiřazujeme dynamickým proměnným  A  a  B,   a    nechť je jejich   komutátor.  Pak platí tzv. Robertsonův vztah

kde  Da  a  Db  jsou střední kvadratické fluktuace veličin  A  a  B  a    je normalizovaná vlnová funkce popisující zadaný stav studované částice.

 

Výše uvedená formule, jejíž podrobné odvození je možno nalézt zde, je zcela jistě vhodným vyjádřením relace neurčitosti pro veličiny  A  a  B.

 

Kompatibilní a nekompatibilní veličiny

 

Výše uvedený komutátor operátorů    a    může být buď nulový, nebo nenulový.

 

Je-li nulový, tj. platí-li    říkáme, že operátory   a    komutují. V tomto případě přechází relace neurčitosti pro  A  a  B  na triviální tvar

 

 

který je ovšem vzhledem k definici středních kvadratických fluktuací vždy splněn. Získaný výsledek můžeme proto interpretovat slovy, že měření veličin  A  a  B  se v zadaném stavu nijak neovlivňují a obě veličiny je možno v rámci kvantového popisu současně měřit neomezeně přesně. Takové veličiny nazýváme kompatibilními (viz též zde).

 

Je-li naopak uvedený komutátor nenulový, je součin odpovídajících středních kvadratických fluktuací vždy větší či roven zadanému nezápornému (zpravidla kladnému) číslu a zmenšení chyby měření jedné veličiny znamená proto růst chyby veličiny druhé. Obě veličiny proto nelze současně měřit neomezeně přesně. Takové veličiny nazýváme obvykle nekompatibilními.

 

Poloha a hybnost

 

Pro komutátory operátorů přiřazených odpovídajícím si složkám polohy a hybnosti bodové částice, jak odvozujeme na jiném místě, platí

 

 

Dosazením do Robertsonova vztahu dostáváme tak vzhledem k normalizaci vlnové funkce 

 

Pro    jsou komutátory   nulové. Nulové jsou i komutátory    a    tentokrát dokonce  pro libovolné hodnoty indexů j a k (viz též zde).  Pomocí Robertsonova vztahu proto můžeme psát

 

 

To je ale obvyklý tvar Heisenbergových relací neurčitosti pro polohu a hybnost.

Předchozí     Následující