6.5 Operátory na Hilbertově prostoru

 

Teorie lineárních operátorů na Hilbertových prostorech tvoří velmi obtížnou matematickou disciplínu. Proto níže uvádíme pouze některé základní pojmy. Bližší poučení je možno nalézt ve specializované literatuře nebo též v monografii Formánkově [1].

 

Lineární operátory

 

Operátorem    na Hilbertově prostoru V  nazveme zobrazení z tohoto prostoru do sebe sama,

 

Množinu všech vektorů z V,  pro které je toto zobrazení definováno, nazveme definičním oborem operátoru    Vektor přiřazený tímto zobrazením vektoru    budeme označovat symbolem    nebo též 

 

Splňuje-li navíc toto zobrazení pro libovolnou dvojici vektorů    a    a libovolné komplexní číslo  a  relace

nazveme operátor    lineárním.

U lineárních operátorů navíc vyžadujeme, aby jejich definiční obor byl lineárním podprostorem prostoru  V.  Musí být tedy uzavřený vzhledem ke sčítání vektorů a násobení vektorů komplexním číslem.

 

Neomezené operátory

 

Skalární součin    zadává na Hilbertově prostoru normu vektoru:

 

Operátor, pro nějž existuje taková kladná konstanta  K,  že pro každý vektor    z definičního oboru platí

 

nazveme operátorem omezeným. Operátor, který není omezený, nazveme operátorem neomezeným.

 

Neomezené operátory nejsou zpravidla definovány na celém prostoru  V.  Vždy proto musíme dbát na jejich definiční obor. Jednou z velkých matematických komplikací kvantové teorie je, že operátory přiřazené dynamickým proměnným jsou až na řídké výjimky neomezené. Omezené operátory je naopak možno vždy definovat tak, aby jejich definiční obor splýval s  V.

 

Husté podmnožiny Hilbertova prostoru

 

Má-li operátor    jehož definiční obor nesplývá s celým Hilbertovým prostorem  V,  pokrývat  V  dostatečně účinně, musí jeho definiční obor vytvářet na tomto prostoru dostatečně hustou síť. Požadujeme proto, aby definiční obor operátoru    byl hustou podmnožinou Hilbertova prostoru  V.

 

Pod hustou podmnožinou přitom rozumíme takovou množinu    že pro libovolný vektor    a libovolné kladné číslo  e  existuje vektor    takový, že jeho vzdálenost od    je menší než zvolené  e,  tj.

 

Sdružený operátor

 

Nechť    a    jsou lineární operátory definované na  V.  Nechť navíc pro libovolnou dvojici vektorů    a    z nějaké husté podmnožiny  V  platí

 

 

Pak operátor    nazveme sdruženým operátorem k operátoru 

 

Samosdružené operátory

 

Je-li operátor roven svému sdruženému,    nazveme jej samosdruženým.

 

Pozor však! Rovnost    neznamená pouze, že je na nějaké husté podmnožině  V  splněn vztah   Navíc si musí být navzájem rovny i definiční obory operátorů   a 

 

Operátor splňující pouze podmínku    se nazývá operátorem symetrickým.

 

V základních kursech kvantové teorie se obvykle nebere zřetel na definiční obory operátorů, a proto jsou často symetrické a samosdružené operátory zaměňovány. To ovšem není zcela korektní, neboť pro neomezené operátory samosdruženost sice implikuje symetrii, opak ale obecně neplatí.

 

Protože vzhledem k symetrii samosdruženého operátoru není významné, zda stojí u prvního či druhého činitele skalárního součinu, píšeme obvykle skalární součin pro samosdružený operátor    ve tvaru 

 

 

Literatura

[1]           FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 722-753.


Předchozí     Následující