6.5 Operátory na Hilbertově prostoru
Teorie lineárních operátorů na Hilbertových prostorech tvoří velmi obtížnou matematickou disciplínu. Proto níže uvádíme pouze některé základní pojmy. Bližší poučení je možno nalézt ve specializované literatuře nebo též v monografii Formánkově [1].
Lineární operátory
Operátorem 
na Hilbertově
prostoru V nazveme zobrazení z tohoto
prostoru do sebe sama,
Množinu všech vektorů z V,
pro které je toto zobrazení definováno, nazveme definičním oborem
operátoru 
Vektor přiřazený
tímto zobrazením vektoru 
budeme označovat
symbolem 
nebo též 
Splňuje-li
navíc toto zobrazení pro libovolnou dvojici vektorů a 
a libovolné komplexní
číslo a relace
nazveme
operátor lineárním.
U lineárních operátorů navíc vyžadujeme, aby jejich definiční obor byl lineárním podprostorem prostoru V. Musí být tedy uzavřený vzhledem ke sčítání vektorů a násobení vektorů komplexním číslem.
Neomezené operátory
Skalární
součin 
zadává na Hilbertově
prostoru normu vektoru: 
Operátor,
pro nějž existuje taková kladná konstanta
K, že pro každý vektor 
z definičního oboru
platí
Neomezené operátory nejsou zpravidla definovány na celém prostoru V. Vždy proto musíme dbát na jejich definiční obor. Jednou z velkých matematických komplikací kvantové teorie je, že operátory přiřazené dynamickým proměnným jsou až na řídké výjimky neomezené. Omezené operátory je naopak možno vždy definovat tak, aby jejich definiční obor splýval s V.
Husté podmnožiny Hilbertova prostoru
Má-li operátor 
jehož definiční obor
nesplývá s celým Hilbertovým prostorem
V, pokrývat V
dostatečně účinně, musí jeho definiční obor vytvářet na tomto prostoru
dostatečně hustou síť. Požadujeme proto, aby definiční obor operátoru byl hustou
podmnožinou Hilbertova prostoru
V.
Pod hustou podmnožinou přitom rozumíme
takovou množinu 
že pro libovolný
vektor 
a libovolné kladné
číslo e existuje vektor 
takový, že jeho
vzdálenost od je menší než
zvolené e, tj. 
Sdružený operátor
Nechť a 
jsou lineární
operátory definované na V. Nechť navíc pro libovolnou dvojici
vektorů a z nějaké husté
podmnožiny V platí
Pak operátor nazveme sdruženým
operátorem k operátoru
Je-li
operátor roven svému sdruženému, 
nazveme jej samosdruženým.
Pozor však! Rovnost 
neznamená pouze, že
je na nějaké husté podmnožině V splněn vztah
Navíc si musí být
navzájem rovny i definiční obory operátorů
a 
Operátor
splňující pouze podmínku 
se nazývá operátorem
symetrickým.
V základních kursech kvantové teorie se obvykle nebere zřetel na definiční obory operátorů, a proto jsou často symetrické a samosdružené operátory zaměňovány. To ovšem není zcela korektní, neboť pro neomezené operátory samosdruženost sice implikuje symetrii, opak ale obecně neplatí.
Protože vzhledem k symetrii samosdruženého operátoru není
významné, zda stojí u prvního či druhého činitele skalárního součinu, píšeme
obvykle skalární součin pro samosdružený operátor ve tvaru 
[1] FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 722-753.
