6.7 Algebraické operace s operátory na Hilbertových
prostorech
Sčítání operátorů
Nechť 
a 
jsou dva operátory na Hilbertově prostoru V s
definičními obory 
a 
Součtem těchto operátorů,
který budeme označovat symbolem 
rozumíme operátor s
definičním oborem 
splňující pro každý
vektor 
Všimněme si rozdílu v interpretaci symbolu „+“ na levé
a pravé straně uvedené definiční rovnosti. Zatímco výraz 
označuje sčítání na
množině operátorů definovaných na Hilbertově prostoru V, tedy operaci nově zaváděnou, 
je „obyčejný“ součet vektorů
z tohoto prostoru.
Matematickou indukcí je možno operátorové sčítání rozšířit na libovolný konečný počet sčítanců. Vzhledem k axiomům lineárního vektorového prostoru snadno vidíme, že sčítání operátorů je komutativní i asociativní.
Násobení operátoru číslem
Nechť je operátor na Hilbertově prostoru V
a a obecně komplexní číslo. Pak a-násobkem tohoto operátoru, který
budeme označovat symbolem 
rozumíme operátor
splňující pro každý vektor 
(definiční obor
operátoru 
je tedy totožný
s definičním oborem operátoru 
Podobně jako výše sčítání je nyní i násobení na levé a pravé
straně definiční rovnosti poněkud odlišné. Zatímco na levé straně násobíme
číslem operátor působící na Hilbertově
prostoru V, na straně pravé vektor z tohoto prostoru.
Násobení operátorů
Nechť a jsou dva operátory na Hilbertově prostoru V s
definičními obory a Součinem těchto
operátorů, který budeme označovat symbolem
rozumíme operátor
splňující pro každý vektor 
pro nějž jsou
požadované operace definovány,
Působení součinu dvou operátorů není tedy ničím jiným než
výsledkem postupné aplikace jednotlivých operátorů, a to v pořadí, v jakém jsou
v součinu zapsány. Definiční obor operátoru 
je proto zřejmě dán
následujícím předpisem: 
Operátory na Hilbertově prostoru V jsou podle definice zobrazeními tohoto prostoru do sebe sama. Násobení operátorů pak ovšem odpovídá skládání těchto zobrazení.
Matematickou indukcí je možno operátorové násobení rozšířit na libovolný konečný počet činitelů tak, že bude asociativní. Násobení operátorů však není komutativní, obecně záleží na pořadí činitelů v operátorovém součinu. Je ovšem distributivní vůči operátorovému sčítání.
Komutátor a antikomutátor operátorů
Komutátor
operátorů a 
zpravidla označovaný
symbolem 
je operátor
definovaný předpisem
V kvantové teorii bývá často užitečný i analogicky definovaný antikomutátor dvou operátorů:
Umocňování operátorů
Pomocí násobení operátorů můžeme přímočaře definovat jejich obecnou mocninu s kladným exponentem
a pro operátory, k nimž existuje operátor
inverzní 
též mocninu
s exponentem záporným
Obě definice můžeme ještě dále doplnit velmi přijatelným vztahem
kde 
je operátor
identity, tj. 
pro každé 
Nechť f(x) je analytická funkce, kterou je možno na
okolí x = 0 rozvést do McLaurinovy (viz např. [1]) řady 
kde 
a nechť je operátor na Hilbertově prostoru V. Pak
pod funkcí
operátoru 
rozumíme
Částečné součty uvedené řady je možno bez větších potíží
vyčíslit pomocí výše uvedených definic sčítání a umocňování operátorů a
násobení operátoru číslem. Konvergenci samotné řady je pak nutno vyšetřovat bodově pro různé vektory z V. Tj.
musíme vyšetřovat konvergenci řad typu 
kde
Analogickým způsobem můžeme definovat i funkce více operátorů. Musíme však dávat velký pozor na to, že násobení operátorů není obecně komutativní!
[1] REKTORYS,
K., aj. Přehled užité matematiky. 4.
vyd. Praha: SNTL, 1981. 1139 s. s. 565.
[2] FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 722-753.
