4 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Svět se bezesporu dramaticky změnil (alespoň ten, v němž žili své životy učenci), když koncem 17. století vytvořili Gottfried Wilhelm Leibniz a sir Isaac Newton infinitezimální počet (pravidla pro počítání s nekonečně malými veličinami). Infinitezimální počet zahrnuje dvě rozsáhlé oblasti - diferenciální počet a počet intergální. V této kapitole se zabýváme první oblastí - diferenciálním počtem, a to speciálně diferenciálním počtem funkcí jedné reálné proměnné.
Jádrem kapitoly je bezesporu podkapitola 4.4 (Derivace), ve které zavádíme nejdůležitější pojem diferenciálního počtu - derivaci, a ukazujeme, jak se dají derivace různých funkcí počítat.
Pojem derivace nelze ovšem zavést bez dalšího (pravděpodobně neméně důležitého, i když v tomto kurzu poněkud opomíjeného) pojmu limity funkce (zde jedné reálné proměnné). A samozřejmě spolu s limitou se sluší probrat i pojem spojitosti funkce. Vše je obsahem podkapitol 4.2 (Spojitost) a 4.3 (Limity). V podkapitole 4.1 (Reálné funkce jedné reálné proměnné) shrnujeme navíc pro pohodlí studujícího základní pojmy týkající se reálných funkcí jedné reálné proměnné.
Definice a věty formulované pro reálné funkce (podkap. 4.2 - 4.4) není obtížné rozšířit i na obecnější (a pro aplikace velmi zajímavé) funkce vektorové a komplexní. Činíme tak v nezbytné míře v podkapitolách 4.10 (Vektorové funkce) a 4.11 (Komplexní funkce).
Těm, kteří se při svém studiu zabývají fyzikou či chemií, není zajisté nutno
zdůrazňovat, jak je diferenciální počet důležitý v aplikacích. Abychom alespoň
stručně tuto důležitost ilustrovali, shrnujeme některé možnosti využití diferenciálního
počtu jedné reálné proměnné v podkapitolách 4.5 - 4.9. Nejdříve se věnujeme
použití derivací při vyšetřování extrémů (podkap. 4.5)
a průběhu reálných funkcí (podkap. 4.6) jedné reálné
proměnné, dále přibližným výpočtům pomocí prvního diferenciálu
(podkap. 4.7) či Taylorova rozvoje (podkap. 4.8)
a nakonec i použití derivací při výpočtu komplikovanějších limit (podkap.
4.9, L'Hospitalovo pravidlo).