4.3 Limity V této podkapitole se věnujeme různým typům limit reálných funkcí jedné reálné proměnné a způsobům jejich výpočtu. Jedná se o podkapitolu poměrně rozsáhlou, proto je rozdělena do několika samostatných odstavců. Všem věnujte odpovídající pozornost, pořádně si promyslete každou definici i větu. Pojem limity se objevuje i v dalších kapitolách tohoto kurzu a bez jeho dokonalého zvládnutí byste nemuseli dobře pochopit jejich obsah. A především! Pomocí limity hned v následující podkapitole (4.4 Derivace) definujeme ústřední pojem diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné - derivaci.
Při výkladu postupujeme následujícím způsobem:
Nejdříve v odstavci 4.3.1 (Definice limit) uvádíme přesná znění definic většiny typů limit, s nimiž se můžete setkat. Každou z nich si pořádně promyslete a pokuste se formulovat její negaci. Tam, kde je uvedeno, že si "čtenář definici sám snadno zformuluje", to určitě proveďte. Kromě jiného si tak ověříte, do jaké míry jste předcházející výklad skutečně zvládli.
V odstavci 4.3.2 (Věty o limitách) shrnujeme nejdůležitější věty, které se s užitkem používají v konkrétních výpočtech. Poté, co k nim přidáme v podkapitole 4.9 (L'Hospitalovo pravidlo) ještě jednu velmi užitečnou větu, budeme dostatečně vyzbrojeni k řešení i poměrně obtížných příkladů. K těmto větám se neustále vracejte při vlastním počítání a snažte se každý krok, každou úpravu, kterou během počítání provedete, s některou z těchto vět (půjde-li to ovšem) spojit.
Počítáme-li limity, setkáváme se často s tzv. limitami nevlastními, kdy je výsledkem kladné či záporné nekonečno. Při použití věty o algebře limit tak můžeme získat výrazy, v nichž se nekonečna sčítají, násobí ap. Jak to dělat správně, shrnuje odstavec 4.3.3 (Pravidla pro počítání s nekonečny), kde je uveden o soubor jednoduchých pravidel, jak provádět algebraické operace ve výrazech, v nichž se vyskytují nekonečna. Matematikové je formulovali na základě přesných úvah založených na definicích limit a algebraických větách o nich. Můžeme se tedy na ně spolehnout. I tato pravidla procvičte při řešeních konkrétních úloh!
Na závěr uvádíme v odstavci 4.3.4 (Limity elementárních
funkcí) přehled nejdůležitějších limit, k jejichž důkazu bychom museli
použít definice jednotlivých typů limit a další, zpravidla komplikované úvahy.
Pokud si zde uvedené výsledky zapamatujeme, budeme schopni pomocí výše zmíněných
algebraických vět počítat limity velmi rozsáhlého souboru funkcí.