4.8 Taylorův rozvojVěta o Taylorově rozvoji (funkcí jedné reálné proměnné) je zobecněním věty o prvním diferenciálu (podkap. 4.7, První diferenciál). Zatímco pomocí prvního diferenciálu nahrazujeme na malém okolí zvoleného bodu zadanou funkci funkcí lineární, v případě Taylorova rozvoje se jedná o náhradu polynomem n-tého stupně. Tj. funkcí stále ještě dostatečně jednoduchou, aby se hodila například pro rychlé numerické výpočty, ale přece jen lépe vystihující průběh zadané funkce. Použití Taylorova rozvoje (místo prvního diferenciálu) nese s sebou dvě výhody a jednu nevýhodu. Výhodami jsou větší přesnost náhrady (zpravidla čím větší n, tím větší přesnost) a možnost "více se vzdálit" od zvoleného bodu, na jehož okolí náhradu provádíme. Nevýhodou je pak větší výpočetní náročnost polynomů ve srovnání s jednoduchou lineární funkcí.
Stejně jako věta o prvním diferenciálu má i Taylorova věta svůj protějšek pro funkce více proměnných (podkap. 5.8, Taylorův rozvoj funkcí více reálných proměnných).
V této podkapitole uvádíme přesnou formulaci a současně též názorný výklad Taylorovy věty pro funkce jedné reálné proměnné. V samostatném odstavci 4.8.1 (Taylorovy rozvoje elementárních funkcí) uvádíme pak příklady Taylorových rozvojů nejčastěji používaných funkcí. Dobrým cvičením je bezesporu odvození všech uvedených vzorců pomocí obecné formulace Taylorovy věty (určitě proveďte!).
Znalosti a dovednosti
A co byste měli po prostudování této podkapitoly znát? Především následující pojmy:
· o(xn)
("malé o od x na n-tou"),
· Taylorův
polynom stupně n, Taylorův rozvoj,
· n-tý
diferenciál funkce f,
· přiblížení
n-tého řádu,
ale hlavně byste měli umět
· sestavovat
Taylorovy rozvoje jednoduchých funkcí.