4.7 První diferenciálObčas se vyskytnou situace, kdy nepotřebujeme znát přesné řešení zadaného problému, ale vystačíme s výsledky přibližnými. To nastává např. při srovnání teoretických a experimentálních dat. Experimentální data jsou vždy zatížena jistou experimentální chybou. Nemá tedy cenu počítat teoretickou předpověď s přesností větší, než s jakou máme změřena experimentální data . Zejména pak, je-li teoretický výpočet neúměrně náročný či dokonce jen stěží proveditelný. V takové situaci je výhodné nahradit zadané výrazy (funkce) či dokonce rovnice výrazy (funkcemi) či rovnicemi přibližnými (leč dostatečně přesnými), a zejména výpočetně jednoduššími. Jednu z možností, jak zadanou funkci jedné reálné proměnné nahradit přijatelným přiblížením (a to funkcí lineární), poskytuje věta o prvním diferenciálu. Její rozšíření na funkce více proměnných se obvykle nazývá větou o totálním diferenciálu a také s ní se v tomto kurzu seznámíte (viz podkap. 5.7, Totální diferenciál). S větou o prvním diferenciálu úzce souvisí i věta Taylorova (viz podkap. 5.8, Taylorův rozvoj), která říká, jak výpočty provedené pomocí prvního diferenciálu dále zpřesnit.
V této podkapitole se zabýváme prvním diferenciálem reálné funkce jedné reálné proměnné. Jsou v ní podány definice pojmů nezbytných pro další výklad, vyslovena věta o tom, jak obecnou funkci na blízkém okolí vybraného bodu nahradit funkcí lineární, a naznačeny některé její aplikace v konkrétních výpočtech (odst. 4.7.1, Přibližné výrazy pro počítání s malými čísly).
Znalosti a dovednosti
Po jejím prostudování byste měli znát pojmy (ověřte!)
· o(x)
("malé o od x"),
· první
diferenciál,
· přiblížení
prvního řádu, lineární přiblížení.
Dále byste měli umět
· počítat první diferenciály jednoduchých funkcí.