7 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

V sedmé kapitole našeho kurzu si rozšíříme svou dovednost integrovat, nabytou při studiu kap. 6 (Integrální počet funkcí jedné reálné roměnné), na funkce více reálných proměnných. Přesněji, na funkce dvou a tří proměnných. Důvody pro uvedené omezení jsou dva. Především, funkce dvou a tří proměnných se vyskytují v přírodovědných a technických aplikacích zdaleka nejčastěji. Významnější je však pro naše rozhodnutí důvod druhý. Obecná teorie vícerozměrných integrálů (integrálů funkcí více reálných proměnných) je poměrně komplikovaná a zcela jistě přesahuje rámec tohoto kurzu.

Kapitola, do jejíhož studia se hodláte pustit, sestává podle obsahu ze dvou částí. První část tvoří podkapitoly 7.1 (Dvojné a dvojnásobné integrály na dvojrozměrných intervalech), 7.2 (Dvojné a dvojnásobné integrály na obecnějších množinách) a 7.3 (Substituce ve dvojných integrálech), které jsou věnovány, jak již plyne z jejich názvů, integrálům funkcí dvou reálných proměnných. Druhou část pak tvoří podkapitoly 7.4 (Trojné a trojnásobné integrály na trojrozměrných intervalech), 7.5 (Trojné a trojnásobné integrály na obecnějších množinách) a 7.6 (Substituce v trojných integrálech), v nichž se budeme zabývat integrály funkcí tří reálných proměnných.

V obou částech postupujeme ve výkladu až na drobné vyjímky shodným způsobem, v případě trojných integrálů snad jen poněkud stručněji. Nejdříve formulujeme základní definice a věty pro integrály na kartézských součinech dvou či tří intervalů reálné osy (podkap. 7.1 a 7.4). Dále provádíme rozšíření těchto základních výsledků na obecnější dvojrozměrné nebo trojrozměrné množiny (podkap. 7.2 a 7.5). Pro oba typy integračních množin současně ukazujeme, že výpočet dvojných a trojných integrálů je možno převést pomocí velmi užitečné Fubiniovy věty na výpočet určitých integrálů (viz podkap. 6.6) a v konečném důsledku tedy na výpočet integrálů neurčitých (viz podkap. 6.1).

Nakonec se stručně zmiňujeme i o tom, jak je možno výpočet dvojných a trojných integrálů zjednodušit pomocí náhrady (substituce) jedněch integračních proměnných proměnnými novými (podkap. 7.3 a 7.6).