6 Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné To, co souhrnně nazýváme vyšší matematikou, spočívá na dvou mocných pilířích. Jedním z nich je diferenciální počet (probíraný v kapitolách 4 a 5). Druhým pilířem je počet integrální, svým způsobem protipól diferenciálního počtu. Jedna jeho část - integrální počet funkcí jedné reálné proměnné - je obsahem této kapitoly.
Jak již plyne z názvu kapitoly, ústředním pojmem skloňovaným v ní ve všech pádech bude pojem integrálu. Jak se brzy dozvíte, existují dva základní typy integrálů - neurčitý a určitý. První je definován v podkapitole 6.1 (Primitivní funkce, neurčitý integrál), druhý pak v podkapitole 6.6 (Určitý integrál), v níž je též ukázáno, že ve většině "rozumných" případů je možno převést výpočet určitého integrálu na výpočet integrálu neurčitého. Proto větší část této kapitoly věnujeme návodům, jak neurčité integrály počítat.
Integrování je zcela jistě mnohem náročnější operací než počítání derivací. Matematikové proto v minulosti věnovali značné úsilí shromažďování návodů a postupů, jak jednotlivé (mnohdy dosti speciální) integrály počítat. V této kapitole shrnujeme jen malou část dosažených výsledků. V úvodní podkapitole 6.1 formulujeme jednoduché věty o integraci součtu a rozdílu konečně mnoha funkcí jedné reálné proměnné a pravidlo o vytýkání konstanty z integrálu. V podkapitole 6.2 (Integrace per partes) dále formulujeme velmi užitečnou větu o integraci per partes a v podkapitole 6.3 (Integrace substitucí) dvě věty o snad nejvýznamnější integrační metodě - o integraci pomocí substitucí.
Substituce se ukázaly být v minulosti při integrování natolik významné, že mnoho z nich bylo uchováváno a shromažďováno pro následující generace. Dnes je můžeme prakticky ve všech učebnicích a příručkách vyšší matematiky. Jen jejich prostý seznam by zaplnil mnoho desítek stran, proto se v podkapitole 6.5 (Speciální substituce) omezujeme pouze na ty nejdůležitější z nich.
Speciální substituce uvedené v podkapitole 6.5 převádějí počítané neurčité integrály na integrály racionálních lomených funkcí. Proto je nezbytné zvládnout i metody integrace těchto speciálních funkcí. V tom vám může být nápomocna podkapitola 6.4 (Integrace racionálních lomených funkcí).
Poslední podkapitola této kapitoly (6.7, Vybrané aplikace
integrálního počtu) ilustruje alespoň na těch nejjednodušších příkladech,
kde se všude integrály funkcí jedné reálné proměnné mohou hodit. Doporučujeme
na ni nezapomenout, protože povědomí o možných praktických (nebo snad i nepraktických)
aplikacích je tou nejlepší motivací pro další studium.