4.5.1 Dirakovy kvantovací podmínky

 

Podle anglického fyzika Diraka přiřazujeme v rámci kvantové mechaniky dynamickým proměnným samosdružené operátory působící na stavovém prostoru systému. Předpis, jak to udělat, udávají následující dva postuláty.

 

Dirakovy kvantovací podmínky

 

Nechť  C  je dynamická proměnná definovaná prostřednictvím jiných dynamických proměnných  A  a  B  vztahem

 

kde   jsou tzv. Poissonovy závorky známé z klasické mechaniky. Nechť jsou dále dynamickým proměnným  A  a  B  přiřazeny samosdružené operátory    a     Pak proměnné  C  odpovídá operátor    definovaný vztahem

 

 

kde    označuje tzv. komutátor operátorů    a 

 

Proč se na pravé straně rovnosti    vyskytuje multiplikativní faktor ? Z definice Poissonových závorek a z rozměrové analýzy plyne především, že rozměr proměnné  C  je dán podílem součinu rozměrů veličin  A  a  B  a součinu rozměrů hybnosti a souřadnice. Ten je ovšem  J.s  (Joule krát sekunda) a na pravé straně operátorové relace musí tedy nutně stát multiplikativní konstanta stejného rozměru – tedy  J.s. Ukázalo se, že takovou vhodnou konstantou je „škrtnutá“ konstanta Planckova. Vzhledem k samosdruženosti operátorů      i    musí být tato konstanta navíc ryze imaginární.

 

Princip korespondence

 

Samotné Dirakovy kvantovací podmínky k jednoznačnému přiřazení operátorů jednotlivým dynamickým proměnným nestačí. Proto se k nim zpravidla připojuje další postulát - princip korespondence.

 

Nechť je dynamická proměnná  C  funkcí dynamických proměnných     Pak jí v rámci kvantové teorie přiřadíme operátor

 

 

kde    jsou operátory přiřazené dynamickým proměnným

 

Výše uvedená funkce f obvykle reprezentuje algebraický výraz v proměnných    K jeho převedení do operátorové formy užíváme definic algebraických operací pro operátory. Ty můžeme pomocí McLaurinova rozvoje využít i k nalezení obecnějších operátorových funkcí.

 

Potíže při použití principu korespondence může působit fakt, že násobení operátorů není obecně komutativní. Pak totiž velmi záleží na pořadí činitelů v operátorových součinech. Jejich uspořádání musí být tedy v konkrétních případech vhodně zvoleno (tak, aby teorie byla vnitřně bezesporná a její výsledky souhlasily s experimentem) a lze na ně pohlížet jako na dodatečný postulát.

 

Každou dynamickou proměnnou je možno vyjádřit jako funkci zobecněných souřadnic a hybností studovaného systému. Proto operátory přiřazené dynamickým proměnným můžeme vždy psát jako funkce operátorů přiřazených souřadnicím a hybnostem. Dirakových kvantovacích podmínek proto musíme nejdříve využít právě k nalezení těchto, v jistém smyslu základních, operátorů. Jejich pomocí a s využitím principu korespondence pak již relativně snadno nalezneme operátory všech dalších dynamických proměnných. Mezi jinými i těch, které hrají v rámci klasické i kvantové mechaniky velmi významnou roli - energie a momentu hybnosti.


Předchozí     Následující