4.10.3 Kvaziklasické přiblížení

Úvod

Kvaziklasické přiblížení je metodou pro přibližné řešení stacionární i nestacionární Schrödingerovy rovnice. V jeho rámci předpokládáme vlnovou funkci ve speciálním tvaru, který vzdáleně připomíná de Broglieho monochromatickou vlnu,

a obě řešené rovnice zapisujeme pomocí nově zavedené funkce Jejich přibližné řešení hledáme ve tvaru rozvoje této funkce podle mocnin Planckovy konstanty.

Kvaziklasické přiblížení pro nestacionární Schrödingerovu rovnici

V nestacionární Schrödingerově rovnici

předpokládejme vlnovou funkci ve tvaru

kde i je imaginární jednotka a „škrtnutá“ Planckova konstanta. Takto získáme rovnici novou

,

jejíž řešení budeme hledat jako mocninnou řadu

Dosazením do výše uvedené rovnice pro S a porovnáním členů u stejných mocnin Planckovy konstanty získáme takto soustavu rovnic pro koeficienty atd.

atd.

Ze získaných rovnic vidíme především, že v nultém řádu rozvoje podle mocnin Planckovy konstanty získáváme klasickou Hamiltonovu-Jacobiho rovnici [1] a funkce není ničím jiným než klasickým účinkem.

V nultém přiblížení tedy kvantová mechanika odpovídá zcela mechanice klasické.

Teprve druhá z uvedených rovnic reprezentuje některé kvantové efekty. A sice ty, které se projeví již v prvním řádu poruchového rozvoje podle mocnin Planckovy konstanty.

Vezmeme-li v úvahu pouze tyto první dva členy poruchového rozvoje funkce S, tj.

hovoříme o tzv. kvaziklasickém přiblížení.

Je možno ukázat, že kvaziklasické přiblížení poskytuje výsledky přijatelné přesnosti, není-li významná relativní změna hybnosti studované částice na vzdálenostech rovných její de Broglieho vlnové délce. Kvaziklasické přiblížení proto kupříkladu zcela selhává v klasických bodech obratu.

Kvaziklasické přiblížení pro stacionární Schrödingerovu rovnici

Použití kvaziklasického přiblížení při řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je přímočaré. Stacionární vlnovou funkci je totiž možno psát ve tvaru

což vede k

n = 1,2,… .

V rámci kvaziklasického přiblížení se opět omezíme jen na příspěvky nultého a prvního řádu. Funkce je redukovaný účinek [1] známý z klasické mechaniky a funkce splňuje rovnici

Vzhledem k interpretaci funkce vidíme, že je klasická hybnost studované částice. Můžeme tedy psát

kde

Naznačený postup přibližného řešení stacionární Schrödingerovy rovnice se obvykle nazývá podle svých autorů WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) aproximací [2]-[4].

Při výpočtu vlastních energií z diskrétní části spektra vede WKB aproximace ke stejným hodnotám, jaké vyplývají ze Sommerfeldovy-Wilsonovy kvantovací podmínky.

Literatura

[1] LANDAU, LD. a LIFŠIC, JM. Úvod do teoretickej fyziky 1. Mechanika. Elektrodynamika. 1. Vyd. Bratislava: Alfa, 1980. 286 s. s.125-127.

[2] WENTZEL, G. Zeitschrift für Physik, 1926, Bd. 38, S. 518.

[3] KRAMERS, HA. Zeitschrift für Physik, 1926, Bd. 39, S. 828.

[4] BRILLOUIN, L. Comptes Rendus, 1926, vol. 183, p. 24.

---

---