12 Plošné integrály Dříve, než se pustíte do čtení průvodce k této kapitole, pročtěte si průvodce ke kapitole 11 (Křivkové integrály). Zjistíte, že až na záměnu slov křivka a křivkový za slova plocha a plošný (a pár dalších drobností) jsou oba texty téměř totožné. Tato shoda má naznačit, že mezi křivkovými a plošnými integrály je úzký vztah.
V kapitole 7 (Integrální počet funkcí více reálných proměnných), přesněji v podkapitolách 7.1 a 7.2, ukazujeme jak počítat dvojný integrál zadané funkce dvou reálných proměnné na zadané dvojrozměrné množině. Protože v grafickém znázornění reprezentuje takovou množinu jistá část roviny (např. obdélník pro dvojrozměrný interval), můžeme říci, že se v uvedené kapitole zabýváme integrály na rovinných oblastech (např. obdélnících). V této souvislosti nás ale jistě napadne otázka, zda není možné rozšířit postup uvedený v kapitole 7 i na obecnější případ nerovinných ploch, tj. naučit se počítat integrály na obecných (nerovinných) plochách. Že ano a jak, to ukazujeme v této kapitole.
Dříve však, než se pustíme do integrování na obecných plochách, musíme tento pojem (intuitivně každému stejně jasný, jak tomu bylo v případě křivek) zpřesnit tak, abychom s ním mohli dále pracovat na úrovni přesnosti typické pro matematiku. Prostě matematika je už taková! Potřebné přesné definice nalezneme v podkapitole 12.1 (Plochy), a tou při studiu této kapitoly rozhodně začněte. Po jejím zvládnutí se můžeme již bez okolků pustit do studia samotných plošných integrálů. Ty jsou (stejně jako integrály křivkové) definovány ve dvou verzích, a to jako plošné integrály prvního druhu (podkap. 12.2) a plošné integrály druhého druhu (podkap. 12.3). Pro oba typy plošných integrálů uvádíme ve zmíněných podkapitolách nejen jejich přesné definice, ale i názornou interpretaci těchto definic a základní věty a návody, jak plošné integrály počítat.
Zvláštní pozornost věnujte podkapitole 12.4 (Integrální věty), v níž jsou uvedeny věty ukazující na souvislost mezi trojnými, plošnými a křivkovými integrály. Tyto věty sehrály velmi významnou roli při technicky zvládnutelné formulaci teorie elektromagnetického pole, kromě jiného. Vděčíme jim (přesněji matematikům, kteří je formulovali a jejichž jména nesou ve svých názvech) za to, že například slavné Maxwellovy rovnice nemusíme psát v hrozivém integro-diferenciálním tvaru, ale vystačíme s mnohem více "user-friendly" [1] zápisem ve tvaru diferenciálních rovnic. I když třeba netušíte, co to Maxwellovy rovnice jsou, věřte nám, že integrální věty je významně zjednodušují. I toto je jedna z rolí matematiky.
[1] Odpůrci používání cizích slov v českém jazyce nám prominou, ale výstižnější přívlastek nás v tuto chvíli nenapadá.