12.2 Plošný integrál prvního druhuPodobně jako křivkový integrál prvního druhu může sloužit k výpočtu celkového náboje rozloženého nerovnoměrně podél zadané křivky či k výpočtu hmotnosti nekonečně tenkého vlákna s proměnnou lineární hustotou (viz podkap. 11.2, Křivkový integrál prvního druhu), může být zavedení plošných integrálů prvního druhu inspirováno podobnými praktickými potřebami. Tentokrát se ovšem bude jednat o náboj či hmotnost nerovnoměrně rozložené na nějaké ploše v prostoru. Plošným integrálům prvního druhu (jakýmsi dvojrozměrným protějškům křivkových integrálů prvního druhu) stojí tedy za to věnovat jistou pozornost.
V této podkapitole se zabýváme tímto tématem jen velmi stručně. Nejdříve
podáváme definici plošného integrálu prvního druhu (její součástí je i návod,
jak jej pro konkrétní plochu a zadanou funkci počítat) spolu s její názornou
geometrickou interpretací. Z vět, které lze o plošných integrálech prvního
druhu vyslovit, se pro jednoduchost výkladu omezujeme pouze na dvě snadno
zapamatovatelná tvrzení. První z nich říká, že plošný integrál prvního druhu
jedničky (konstantní funkce o hodnotě 1) přes zadanou plochu je roven plošnému
obsahu jejího geometrického obrazu, druhé tvrzení se týká nezávislosti plošného
integrálu prvního druhu na parametrizaci plochy, na které integrujeme.
Znalosti a dovednosti
Po prostudování této podkapitoly byste měli především znát definici plošného integrálu prvního druhu a umět jej počítat. Měli byste rovněž vědět, že hodnota plošného integrálu prvního druhu nezávisí na parametrizaci plochy, po které integraci provádíme.