11 Křivkové integrály V kapitole 6 (Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné), přesněji v podkapitole 6.6 (Určitý integrál), ukazujeme jak počítat určitý integrál zadané funkce jedné reálné proměnné na uzavřeném intervalu reálné osy. Protože v grafickém znázornění reprezentuje takovýto interval úsečka, můžeme říci, že se v uvedené kapitole zabýváme integrály na úsečkách (resp., v případě nevlastních integrálů, na polopřímkách či přímkách). Jistě nás ale okamžitě napadne otázka, zda není možné tento v jistém smyslu speciální postup rozšířit i na obecnější případ křivých čar a naučit se počítat integrály na obecných křivkách. Odpověď (kladnou!) na tuto otázku dává kapitola, kterou právě začínáte číst.
Dříve však, než se pustíme do integrování na křivkách, musíme pojem křivky (intuitivně jistě každému dokonale jasný) upřesnit tak, abychom s ním mohli dále pracovat na úrovni přesnosti typické pro matematiku. Předpokládáme, že čtenář si již zvykl na fakt, že v rámci matematiky s (často naivními) intuitivními představami nevystačíme. Potřebné přesné definice nalezneme v podkapitole 11.1 (Křivky), kterou při studiu této kapitoly rozhodně začněte. Po jejím zvládnutí se již bez starostí můžeme pustit do studia samotných křivkových integrálů. Ty jsou definovány ve dvou verzích, které se obvykle nazývají křivkové integrály prvního druhu (podkap. 11.2) a křivkové integrály druhého druhu (podkap. 11.3). V obou jim věnovaných podkapitolách jsou uvedeny nejen přesné definice, ale i názorná interpretace těchto definic a základní věty a návody, jak křivkové integrály počítat.
Zejména křivkové integrály druhého druhu hrají významnou roli v přírodních
a technických vědách, především pak ve fyzice (mechanika hmotného bodu ve
vnějším silovém poli, teorie elektromagnetického pole ap.) V tomto kurzu se
s nimi můžeme ještě setkat v kapitole 13 (Potenciálová
pole) a dále též v podkapitole 12.4 (Integrální
věty), kde je poukázáno na jejich souvislost s plošnými integrály.