6.3 Integrace substitucí

Substituční metoda tvoří jeden z hlavních pilířů integrálního počtu (a to nejen funkcí jedné, ale i více reálných proměnných). Jedná se o velmi mocný prostředek výpočtu i velmi komplikovaných integrálů a jako takové jí bylo věnováno mnoho pozornosti. Prakticky ve všech příručkách vyšší matematiky je možno najít na mnoha a mnoha stranách shrnutí těch nejdůležitějších substitucí, které se mohou hodit v konkrétních výpočtech. V této podkapitole podáváme nejdříve obecnou formulaci vět o substituci v neurčitých integrálech. Stručný přehled těch nejužitečnějších substitucí pak uvádíme v podkapitole 6.5 (Speciální substituce).

V čem spočívá podstata substituční metody? V náhradě integrační proměnné za jinou. Přesněji, integrujeme-li zadanou funkci f(x), nemusíme se omezovat na integrační proměnnou x a můžeme místo ní použít jinou (vhodnější). Třeba t, a to například pomocí předpisu (náhrady, substituce) x = h(t), kde h je vhodně zvolená funkce. Jak to udělat správně, říkají věty o substituci. Tyto věty jsou integrálním protějškem vět o derivování složené funkce.

A proč něco podobného děláme? Inu proto, abychom integrál, který neumíme vypočítat, převedli na integrál, s nímž už si nějakým způsobem poradíme. Často stačí substituce jediná, někdy musíme provést substitucí více, jindy je třeba substituční metodu kombinovat s integrací per partes či s vhodnými úpravami integrandu. K cíli zpravidla vede více cest, některé jsou pracnější, jiné jednodušší.

Výklad této podkapitoly dělíme do dvou odstavců: 6.3.1 (První věta o substituci) a 6.3.2 (Druhá věta o substituci). Pozorným srovnáním obou vět zjistíme, že se jedná o jedno a totéž tvrzení, jen jednou čtené zprava doleva a podruhé ve směru opačném. Obě věty o substituci se však liší způsobem svého použití, proto je uvádíme odděleně.

Znalosti a dovednosti

Po prostudování této podkapitoly byste měli umět provést v počítaném integrálu zadanou substituci. Určitě ale nebudete umět vhodnou substituci najít (kromě několika jednoduchých případů) bez toho, že si propočtete mnoho konkrétních příkladů.