6.2 Integrace per partes

Vzhledem k velmi úzkému vztahu mezi integrály a derivacemi nás jistě nepřekvapí, že většina vět o derivacích má své "integrální" protějšky. V podkapitole 6.1 (Primitivní funkce, neurčitý integrál) jsme se s jedním takovým protějškem setkali. Jednalo se o větu o linearitě neurčitého integrálu, která říká, že integrál součtu či rozdílu dvou funkcí je roven součtu či rozdílu jejich integrálů a že konstantu je možno z integrálu vytýkat. Zalistujte-li v podkapitole 4.4 (Derivace), najdete jistě snadno téměř stejně znějící věty o derivacích. V této podkapitole se vydáváme na cestu za dalšími "integrálními" protějšky vět, s nimiž jsme se seznámili v podkapitole 4.4. Jednou z nich je i věta o integraci per partes, protějšek věty o derivaci součinu dvou funkcí. A právě o ní pojednává tato podkapitola. Postup výkladu je následující.

Nejdříve vyslovíme větu o integraci per partes. Pořádně si ji promyslete a ukažte, že opravdu souvisí s větou o derivaci součinu!

V samostatném odstavci (6.2.1, Vybrané integrace per partes) jsou shrnuty nejdůležitější integrály, k jejichž výpočtu je metoda per partes vhodná. Pro pohodlí čtenáře uvádíme v tomto odstavci i návod, jak per partes použít. Určitě si všechny vzorce ověřte výpočtem!

Druhý samostatný odstavec (6.2.2, Rekurentní vztahy) jako by s tématem této podkapitoly ani nesouvisel. Přesto je pravý opak pravdou. Vzorce v něm uvedené se dokazují právě pomocí metody per partes. Ono totiž často v konkrétních výpočtech nestačí metodu per partes použít jen jednou, ale naopak je nutné provádět ji opakovaně. Rekurentní vztahy nám mohou toto opakované použití významně zjednodušit.

A na závěr ještě jedna poznámka. Metoda per partes poskytuje zajisté velmi mocný prostředek pro počítání i docela komplikovaných integrálů. Sama o sobě ale přesto někdy nestačí, a proto ji musíme kombinovat s dalšími metodami a větami. Například s již zmíněnou větou o linearitě neurčitého integrálu či s jinou důležitou větou integrálního počtu - s větou o substituci (viz 6.3, Integrace substitucí).

Znalosti a dovednosti

A co byste měli po prostudování této kapitoly znát a umět? Především byste měli

·        umět metodu per partes používat v konkrétních výpočtech
·        a znát několik užitečných vzorců, které je možno pomocí ní odvodit.