5 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné (viz kap. 4) je velmi významnou a užitečnou oblastí vyšší matematiky. Snad ještě významnější je ale diferenciální počet funkcí více reálných proměnných, který je jeho zobecněním. A právě derivováním funkcí více reálných proměnných se budeme zabývat v této kapitole.
Popravdě řečeno, ani konečný počet proměnných nemusí při studiu přírodních věd stačit. Tak například mnozí fyzikové a chemikové si libují ve značně obecných funkcích nekonečně mnoha proměnných (užitečných např. v kvantové fyzice). Tato část matematiky, obvykle zvaná funkcionální analýza, však zcela překračuje rámec tohoto kurzu, a proto se v této kapitole zůstaneme při zemi a budeme zabývat "pouze" funkcemi více (leč konečně mnoha) reálných proměnných.
Postup výkladu je zhruba stejný jako v případě diferenciálního počtu jedné reálné proměnné. Nejdříve opakujeme základní pojmy v podkapitole 5.1 (Reálné funkce více reálných proměnných), dále se zabýváme spojitostí (podkap. 5.2) a limitami (podkap. 5.3) funkcí více reálných proměnných, aby tato víceméně přípravná fáze vyvrcholila v zavedení velmi důležitého pojmu parciální derivace v podkap. 5.4. V této podkapitole jsou vysloveny nezbytné definice, formulovány věty, které usnadňují výpočet parciální derivace v konkrétních příkladech, a nakonec i vysvětlena souvislost mezi parciálními derivacemi a derivací podle jedné reálné proměnné. Samostatnou podkapitolu (5.5, Derivování složených funkcí) věnujeme jednomu technicky poměrně náročnému tématu.
Více proměnných znamená více možností, jak zadanou funkci derivovat. Samotných prvních parciálních derivací existuje pro funkci n proměnných celkem n (na rozdíl od jediné derivace pro funkci jedné proměnné). Pro každou souřadnicovou osu v n-rozměrném prostoru nezávislých proměnných jedna parciální derivace. Tím se ovšem výčet možností zdaleka nevyčerpává. Můžeme se totiž pokusit zadanou funkci derivovat podél libovolné přímky procházející zadaným bodem v prostoru nezávislých proměnných. Výsledkem je derivování ve směru, které probíráme v podkapitole 5.6 (Derivace ve směru).
A k čemu mohou být všechny ty parciální derivace a derivace ve směru dobré? To alespoň na třech příkladech ukazujeme v podkapitolách 5.7 (Totální diferenciál), 5.8 (Taylorův rozvoj) a 5.9 (Lokální extrémy), které jsou "vícerozměrnými" protějšky odpovídajících podkapitol kapitoly 4 (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné), a to konkrétně podkapitol 4.5 (Extrémy funkcí jedné reálné proměnné), 4.7 (První diferenciál) a 4.8 (Taylorův rozvoj). Na možnosti dalšího využití parciálních derivací narazíte dále například i v kapitole 8(Diferenciální operátory).
A nakonec nezapomeňte ani na dvě "povinná" zobecnění - vektorová
pole (neboli vektorové funkce více reálných proměnných) v podkapitole
5.10 a komplexní funkce více reálných proměnných
(podkap. 5.11).