6.7 Vybrané aplikace integrálního počtuO tom, kde se všude integrály hodí, bychom mohli vyprávět velmi dlouho. Vždyť jen ve fyzice (ale i v chemii a dnes i, sice v menší míře ,ale přesto, v biologii či ekonomii) se s integrály potkáváme téměř na každém kroku. Obsah této podkapitoly by bezesporu mohl vydat na samostatný kurz, nebo dokonce na několik samostatných kurzů. Není ovšem naším cílem zabývat se tímto tématem v takovém rozsahu. V této podkapitole si chceme pouze ukázat na několika jednoduchých příkladech, k čemu všemu mohou být integrály dobré.
Výklad je rozdělen do jedenácti samostatných odstavců, v každém z nich se soustřeďujeme na jednu vybranou (geometrickou či fyzikální) aplikaci. Na začátku každého odstavce uvádíme nejdříve vzorec pro výpočet veličiny uvedené v jeho názvu. Tato část je určena především těm, kteří již vědí, oč se jedná, k rychlému připomenutí konkrétního výpočetního vzorce. V dalším textu ukazujeme, jak je možno k tomuto vzorci dojít: nejdříve formulujeme co nejpřesněji zadání problému, pak naznačujeme postup, jak získat přibližný vzorec ve tvaru Riemannovy integrální sumy, a nakonec proměňujeme tuto sumu v odpovídající Riemannův integrál. V každém případě si otestujte použití každého vzorce uvedeného v této podkapitole při řešení konkrétní úlohy!
Znalosti a dovednosti
Po prostudování této podkapitoly byste měli umět pomocí určitých integrálů počítat
·
plochu pod grafem funkce (a také
plošný obsah obecnějších rovinných útvarů),
·
délku oblouku grafu funkce a parametricky
zadané křivky v rovině i v prostoru,
·
objem a povrch rotačních těles,
·
hmotnosti nekonečně tenkých rovných
tyčí i zakřivených vláken,
·
jejich těžiště,
·
práci vykonanou vnějšími silami
na přímé i zakřivené dráze.