5.9 Lokální extrémy (funkcí více reálných proměnných)

S funkcemi více proměnných je to obtížné! Na jedné straně se mnoho definic a vět neliší příliš od odpovídajících vět a definic pro funkce jedné reálné proměnné, na straně druhé je vše jaksi komplikovanější a výpočetně náročnější. Bezezbytku to platí i o vyšetřování lokálních extrémů funkcí více reálných proměnných. A to už vůbec nehovoříme o hledání extrémů globálních, což pro funkce více proměnných zcela přesahuje meze tohoto kurzu. Pro srovnání čtěte tuto podkapitolu a odpovídající podkapitolu věnovanou extrémům funkcí jedné reálné proměnné (podkap. 4.5, Extrémy funkcí jedné reálné proměnné) současně a porovnávejte je.

Látka vyložená v této podkapitole a jí podřízených odstavcích je poměrně komplikovaná a vyžaduje přiměřeně velké úsilí čtenářovo. Jak se tedy v této látce orientovat?

Výklad začíná definicemi lokálních extrémů funkcí více reálných proměnných. Odlišnost od "jednorozměrného" případu není velká, takže se tyto definice snadno pamatují.

Ve větách po této definici následujících se soustřeďujeme na konkrétní návod, jak se dají lokální extrémy najít. Nejdříve přichází na řadu věta, která říká, že nutnou podmínkou existence lokálního extrému je nulovost všech parciálních derivací studované funkce. Těch je pro funkci n proměnných celkem n. Situace je téměř stejná jako v případě funkcí jedné proměnné, jen rovnic, které musíme při hledání extrémů řešit, je více (n místo jediné). Pomocí této věty nalezneme všechny podezřelé body, v nichž studovaná funkce může (ale nemusí!) svých lokálních extrémů nabývat.

Máme-li podezřelé body nalezeny, nezbývá než je otestovat a zjistit, zda opravdu odpovídají lokálním extrémům a, pokud ano, vyšetřit typ extrémů v nich nabývaných. V případě funkcí jedné reálné proměnné se pro tento účel ukázala být velmi užitečnou druhá (či vyšší) derivace. Podobné, ač komplikovanější, to je i v případě funkcí více proměnných. Návod, jak test s druhou derivací provádět pro funkce více reálných proměnných, je vyložen ve druhé větě této podkapitoly a v jí předcházející poznámce. Na tomto místě však narážíme na nemalý zádrhel, na scénu vstupují nové pojmy - kvadratická forma, pozitivní či negativní definitnost, vlastní čísla ap. Kdo s nimi není seznámen, musí se obrátit do odstavce 5.9.2 (Kvadratické formy) a tam načerpat nezbytné poučení.

A nakonec jeden příklad, který si jistě zaslouží samostatný odstavec (5.9.1, Lokální extrémy funkcí dvou reálných proměnných). V něm předvádíme, jak obecný postup nastíněný v této podkapitole funguje v praxi. Tomuto odstavci (příkladu) věnujte proto zvýšenou pozornost a neustále porovnávejte kroky v něm činěné s obecnou teorií!

Znalosti a dovednosti

A co byste měli po prostudování této kapitoly znát? Potíže vám jistě nebudou činit pojmy

·        lokální maximum, ostré lokálné maximum,
·        lokální minimum, ostré lokálné minimum,
·        lokální extrém, ostrý lokálné extrém,
·        kvadratická aproximace,
·        sedlový bod.

Umět byste měli i

·        vyšetřit lokální extrémy funkcí nevelkého počtu (dvou, tří) reálných proměnných.

K tomu bude ale třeba doplnit teorii vyřešením několika konkrétních úloh!