4.3.2 Obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice

Čistě diskrétní spektrum

Podle principu superpozice můžeme vlnovou funkci popisující fyzikálně realizovatelný stav systému psát ve tvaru lineární kombinace vlnových funkcí stacionárních. V případě systému s čistě diskrétním spektrem proto platí

kde vektorovým indexem zohledňujeme možnou degeneraci jednotlivých energetických hladin systému. V případě nedegenerovaného spektra by se tento sčítací index ve výše uvedené sumě nevyskytoval.

Vzhledem k tomu, že princip superpozice byl vůdčí ideou při formulování nestacionární Schrödingerovy rovnice, musí jí nutně výše uvedená suma vyhovovat, což můžeme snadno ověřit prostým dosazením.

Lineární kombinace stacionárních vlnových funkcí proto zadává obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice systému s čistě diskrétním spektrem.

K jednoznačnému určení tohoto řešení musíme však najít zatím neznámé koeficienty Učiníme tak pomocí počáteční podmínky v níž je zadaná komplexní funkce. Musí tedy platit

K osamostatnění konstant využijeme ortogonality prostorových částí stacionárních vlnových funkcí, o nichž navíc budeme předpokládat, že jsou normalizovány k jedničce. S využitím bra-ketové symboliky můžeme proto psát kde je zobecněné Kroneckerovo delta.

Po vynásobení obou stran počáteční podmínky, kterou pomocí bra-ketové symboliky zapisujeme ve tvaru zleva bra-vektorem a s využitím ortogonality stacionárních vlnových funkcí získáme

a dále též

Pro zadanou počáteční podmínku jsou tedy koeficienty a proto i vlnová funkce určeny jednoznačně.

Musíme však mít na paměti, že různé počáteční vlnové funkce, které se navzájem liší pouze nenulovým multiplikativním faktorem, popisují počáteční stav systému stejně dobře. Podobná nejednoznačnost se pochopitelně přenáší i na obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice. Vybereme-li si však jednu ze všech možných ekvivalentních počátečních podmínek, bude již toto řešení určeno jednoznačně.

Snadným výpočtem dále zjistíme, že v každém čase platí

Normalizace vlnové funkce, která splňuje nestacionární Schrödingerovu rovnici, se tedy s časem nemění.

Čistě spojité spektrum

Pro systém s čistě spojitým spektrem je možno podle principu superpozice psát obecnou kvadraticky integrovatelnou vlnovou funkci ve tvaru

kde integrujeme přes množinu všech spojitých energií a vektorovým indexem s zohledňujeme možnou degeneraci jednotlivých energetických hladin.

I právě uvedená integrální lineární kombinace splňuje nestacionární Schrödingerovu rovnici, a zadává tedy její obecné řešení.

Neznámé koeficienty získáme pomocí počáteční podmínky

z níž lze vhodným postupem [1], přesahujícím však rámec této encyklopedie, získat při vhodné „normalizaci“

Literatura

[1] FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 51-56.

---

---