5.9 Lokální extrémy (funkcí více reálných proměnných)

Definice

Nechť je funkce f(x) definována na nějakém okolí bodu  a.  Řekneme, že tato funkce má v bodě  a

·        lokální maximum                     ,

·        ostré lokální maximum          ,

·        lokální minimum                      ,

·        ostré lokální minimum           .

Lokální maximum a lokální minimum nazýváme souhrnně lokálními extrémy, ostré lokální maximum a ostré lokální minimum ostrými lokálními extrémy.

Věta (nutná podmínka existence lokálního extrému)

Nechť má funkce  f  na nějakém okolí bodu  a  všechny první parciální derivace. Má-li funkce v bodě  a  lokální extrém, jsou nutně tyto derivace nulové.

Poznámka

Nulovost parciálních derivací prvního řádu je pouze nutnou podmínkou existence lokálního extrému studované funkce v daném bodě. Obecně se nejedná o podmínku postačující - funkce s nulovými prvními derivacemi nemusejí mít v zadaném bodě lokální extrém. Navíc z nulovosti prvních derivací nejsme schopni určit typ extrému. K tomu je zapotřebí zkoumat derivace druhé či dokonce vyšší. Porovnejte s vyšetřováním lokálních extrémů funkce jedné reálné proměnné.

Poznámka

Níže se omezíme na případ, kdy již samotné druhé derivace umožňují rozhodnout o povaze extrému. Protože nás v případě lokálních extrémů zajímá pouze chování studované funkce na malém okolí vybraného bodu, můžeme použít k přibližnému popisu této funkce na zvoleném okolí Taylorovu větu. Omezíme-li se na velmi malé okolí bodu  a,  vystačíme s tzv. kvadratickou aproximací  (přiblížením druhého řádu) a pro funkci  f,  která má v bodě  a  nulové první derivace, můžeme psát

.

Druhý člen na pravé straně této formule můžeme dále přepsat do formálně jednoduššího tvaru

,

zavedeme-li [1]

   a   .

Věta (postačující podmínka existence ostrého lokálního extrému)

Předpokládejme, že funkce  f  má v bodě  a  nulové první derivace a druhé derivace spojité na nějakém okolí tohoto bodu. Označme dále  ,  kde . Pak platí [2],

·        je-li kvadratická forma D₂(z) pozitivně definitní,  nabývá funkce  f  v bodě  a  ostrého lokálního minima,
·        je-li kvadratická forma D₂(z) negativně definitní, nabývá funkce  f  v bodě  a  ostrého lokálního maxima,
·        je-li tato kvadratická forma indefinitní, nemá funkce v daném bodě lokální extrém, ale tzv. sedlový bod.

Pokud není splněna ani jedna z uvedených podmínek, není možno o povaze lokálního extrému rozhodnout, dokonce není ani možno tvrdit, že funkce v zadaném bodě nějaký extrém má. Ke konečnému rozhodnutí je zapotřebí studovat vyšší derivace funkce  f  v tomto bodě.

Poznámka

Definitnost kvadratické formy testujeme například pomocí vlastních čísel jí odpovídající matice A_ij (viz věta zde).

Poznámka

O tom, jak výše uvedená postačující podmínka existence lokálního extrému funguje v konkrétním případě reálné funkce dvou reálných proměnných, se můžete poučit zde.

[1] Všimněte si, že vzhledem záměnnosti parciálních derivací platí A_ij = A_ji.  Matice  A_ij  je tedy symetrická.