4.5.1 Lokální extrémy

Definice (lokální extrémy)

Nechť je funkce  f  definována na okolí bodu  a.  Řekneme, že tato funkce má v bodě  a

·        lokální maximum                    ,

·        ostré lokální maximum         ,

·        lokální minimum                     ,

·        ostré lokální minimum          .

Lokální maximum a lokální minimum nazýváme souhrnně lokálními extrémy, ostré lokální maximum a ostré lokální minimum ostrými lokálními extrémy.

Věta (nutná podmínka existence lokálního extrému)

Nechť má funkce  f  v bodě  a  první derivaci. Má-li  f  v bodě  a  lokální extrém, je nutně tato derivace nulová.

Věta (postačující podmínka existence ostrého lokálního extrému)

Nechť má funkce  f  v bodě  a  první a druhou derivaci. Je-li první derivace nulová a druhá derivace nenulová, má funkce  f  v bodě  a  ostrý lokální extrém. Je-li  ,  jedná se o lokální maximum, je-li  ,  jedná se o lokální minimum.

Poznámka

Předcházející dvě věty nám poskytují návod, jak lokální extrémy reálných funkcí jedné reálné proměnné hledat.

·   Nejdříve nalezneme body možného výskytu lokálních extrémů řešením rovnice  .
·   V každém z takto nalezených bodů určíme dále znaménko druhé derivace.
·   Je-li druhá derivace kladná, nabývá studovaná funkce v tomto bodě svého lokálního minima.
·   Je-li druhá derivace záporná, nabývá studovaná funkce v tomto bodě svého lokálního maxima.

Poznámka

Pokud je však současně nulová první i druhá derivace, nemůžeme o chování funkce poblíž takového bodu na základě výše uvedených vět říci nic určitého a musíme užít věty obecnější:

Věta (silnější postačující podmínka existence ostrého lokálního extrému)

Platí-li    a  ,  kde  n  je liché, nabývá funkce  f  v bodě  a  lokálního extrému: pro    lokálního minima a pro    lokálního maxima. Je-li naopak  n  sudé, nemá funkce  f  v bodě  a  žádný lokální extrém.