5.9.2 Kvadratické formy

Definice

Funkci  ,  kde matice     je symetrická  , nazveme kvadratickou formou  n  proměnných .

Definice

Kvadratickou formu F(z) nazveme [1]

·        pozitivně definitní        ,

·        negativně definitní       ,

·        indefinitní       .

Poznámka

Vzhledem k symetrii matice A_ij je velmi vhodné testovat definitnost jí odpovídající kvadratické formy pomocí vlastních čísel této matice [2].

Definice

Pod vlastním číslem [3] matice A_ij rozumíme číslo  l,  které splňuje tzv. charakteristickou rovnici

,

kde det () označuje determinant vepsané matice.

Věta

Symetrická matice má všechna vlastní čísla reálná.

Věta (o vztahu definitnosti kvadratické formy a vlastních čísel jí odpovídající matice)

Kvadratická forma    je

·        pozitivně definitní       matice A_ij má všechna vlastní čísla kladná,

·        negativně definitní      matice A_ij má všechna vlastní čísla záporná,

·        indefinitní                    matice A_ij má alespoň jedno vlastní číslo kladné a alespoň jedno záporné.

[1] Podobně jako výše používáme zkratku z = [z₁,...,z_n] a 0 = [0,...,0].

[2] Existují ovšem i jiné postupy (např. Sylvestrovo kritérium), o nichž může čtenář najít bližší poučení např. v příručce Rektorysově.

[3] Viz též zde.