11.2 Křivkový integrál prvního druhu

Zavedení křivkového integrálu prvního druhu může být inspirováno navýsost praktickými důvody, jakými jsou například potřeba určit celkový náboj rozložený s proměnnou lineární hustototu podél zakřiveného drátu nebo určit hmotnost vlákna s proměnnou lineární hustotou (tentokrát hmotnosti). V této podkapitole se však nechceme zabývat důvody, proč je dobré něco o křivkových integrálech vědět. Naším cílem je vyslovit nezbytné definice a především naučit se křivkové integrály prvního druhu počítat.

Začneme definicí, a to nejdříve definicí křivkového integrálu prvního druhu pro hladké křivky (křivky třídy C1). Pořádně si ji promyslete! Její součástí je totiž i návod, jak křivkový integrál prvního druhu pro konkrétní křivku a konkrétní integrovanou funkci vypočítat. A nezapomeňte si vše vyzkoušet v konkrétním výpočtu! Důležitá je i za úvodní definicí uvedená poznámka, v níž se říká, že křivkový integrál prvního druhu jedničky (tj. konstantní funkce o hodnotě 1) není ničím jiným než délkou křivky, po které integraci provádíme. Věta o aditivitě křivkového integrálu prvního druhu vůči skládání křivek připravuje půdu pro rozšíření úvodní definice i na křivky hladké po částech (tj. křivky po částech třídy C1). Toto rozšíření nám umožní počítat křivkové integrály i na poměrně obecných křivkách.

V samostatném odstavci (11.2.1, Věty o křivkových integrálech prvního druhu) shrnujeme základní tvrzení, která je možno o křivkových integrálech prvního druhu vyslovit a která se mohou hodit v konkrétních výpočtech. Porovnejte je s odpovídajícími větami formulovanými pro křivkové integrály druhu druhého (odst. 11.3.1, Věty o křivkových integrálech druhého druhu). Uvědomíte si tak, kromě jiného, jak jsou si křivkové integrály prvního a druhého druhu matematicky blízké, byť jejich interpretace (např. fyzikální) je značně odlišná. Zapamatujte si především větu o nezávislosti křivkového integrálu prvního druhu na parametrizaci křivky a nepřehlédněte rovněž závěrečnou poznámku, v níž rozšiřujeme jeho definici na vektorové funkce.

Znalosti a dovednosti

Po prostudování této podkapitoly byste měli především znát definici křivkového integrálu prvního druhu (a to pro skalární i vektorové funkce) a umět křivkové integrály prvního druhu počítat. Měli byste rovněž vědět, že hodnota křivkového integrálu prvního druhu nezávisí na parametrizaci křivky, po které integraci provádíme.