NEROZLIŠITELNÉ ČÁSTICE

4.8.1 Nerozlišitelné částice

Princip nerozlišitelnosti

V rámci kvantověmechanického popisu jsou totožné částice nerozlišitelné.

Totožné částice je nutno v kvantové mechanice chápat poněkud odlišně od toho, nač jsme zvyklí v mechanice klasické. V rámci klasického popisu totiž vždy předpokládáme, že i částice, jejichž všechny fyzikální vlastnosti jsou shodné, je možno alespoň v principu navzájem odlišit. Např. tak, že každé z nich přidělíme pozorovatele, který bude mít za úkol sledovat její trajektorii. Takovému pozorovateli můžeme přidělit identifikační číslo a to můžeme pak použít i k odlišení „jeho“ částice od ostatních. Zajímáme-li se v budoucnosti o některou ze studovaných částic, např. částici K, stačí se obrátit na pozorovatele K a ten nám na ni podle potřeby ukáže.

V kvantovém světě ovšem nic takového možné není! Především částice už nejsou lokalizovány v prostoru, jejich vlnové funkce se mohou nejrůznějším způsobem překrývat a klasické trajektorie neexistují. Proto je nemůže žádný pozorovatel „uhlídat“. Navíc se v případě mikroskopických částic jejich sledování pozorovatelem neobejde bez podstatného ovlivnění jejich pohybu. Tak kupř. pozorovat částici znamená, že ji musíme osvítit světlem a následně registrovat odražené (rozptýlené) fotony. Srážka fotonu s mikroskopickou částicí však může velmi významně ovlivnit její další vývoj.

Vlnové funkce

Jakákoliv vlnová funkce soustavy N nerozlišitelných částic musí nutně zohlednit fakt, že libovolnou permutací (záměnou) těchto částic není možno změnit stav studovaného systému. Chceme-li proto při popisu nerozlišitelných částic využít formalismu, který jsme zavedli pro částice rozlišitelné (viz zde), je nezbytně nutné požadovat, abychom permutací dvojic polohových a spinových proměnných jednotlivých částic, získali vlnovou funkci, která popisuje stejný kvantověmechanický stav jako funkce původní. Dvě vlnové funkce popisují ale, vzhledem ke své statistické interpretaci, stejný stav systému, je-li jedna (komplexním) násobkem druhé.

Permutace argumentů mnohočásticové vlnové funkce se může tedy v případě nerozlišitelných částic projevit nanejvýš odlišností v komplexním multiplikativním faktoru. Pracujeme-li s normovanými vlnovými funkcemi, má tento faktor navíc jednotkovou velikost.

Speciálním případem permutace je výměna (transpozice) dvou částic, např. částice K a L. Té můžeme přiřadit operátor splňující

Má-li vlnová funkce y správně popisovat systém nerozlišitelných částic, musí podle výše řečeného splňovat pro libovolnou dvojici indexů K a L vztah (a je komplexní číslo)

Vzhledem k nerozlišitelnosti studovaných částic musí být navíc toto číslo stejné pro všechny možné dvojice indexů K a L. Je velmi snadné určit jeho hodnotu. Dvojí aplikace téhož operátoru transpozice vede totiž k původní vlnové funkci

Odtud již vidíme, že a samotný multiplikativní faktor tedy nabývá hodnot

Vhodnými kandidáty na vlnové funkce systému N nerozlišitelných částic jsou proto jen ty funkce, které se při výměně libovolné dvojice částic nemění nebo nanejvýš změní své znaménko. První z uvedených funkcí se nazývají vlnovými funkcemi symetrickými a druhé vlnovými funkcemi antisymetrickými. Při provedení libovolné permutace částic se symetrické vlnové funkce nezmění a antisymetrické změní své znaménko podle znaménka provedené permutace.

Je možno dokázat následující tvrzení, podrobnější analýza však překračuje rámec této encyklopedie a je ji možno najít ve specializované literatuře [1].

Charakter vlnové funkce libovolného systému obsahujícího nerozlišitelné částice se nemění ani v důsledku samovolného časového vývoje, ani v důsledku vnějších zásahů do něj.

Systémy nerozlišitelných částic se takto přirozeně dělí na dvě velké skupiny

· ty, které popisujeme symetrickými vlnovými funkcemi,

· ty, které popisujeme vlnovými funkcemi antisymetrickými.

Z kvantové teorie pole vyplývá, že první typ částic nese celočíselný spin a typ druhý má spin poločíselný. Částice s celočíselným spinem se obvykle nazývají bosony, neboť ve velkých (makroskopických) systémech vyhovují tzv. Boseho-Einsteinově statistice. Částice nesoucí spin poločíselný se ze stejného důvodu nazývají fermiony. V makroskopické limitě totiž vyhovují tzv. Fermiho-Dirakovu rozdělení.

Vyjádření vícečásticových vlnových funkcí pomocí funkcí jednočásticových

Vlnové funkce vícečásticových systémů často vyjadřujeme pomocí vlnových funkcí jednočásticových. Možné je to například pro soustavy neinteragujících částic, s přibližnou platností ale i pro částice interagující (viz např. Hartreeho-Fockova aproximace).

Označme normované jednočásticové vlnové funkce. Pak zřejmě jejich součin můžeme chápat jako jednu z možných vlnových funkcí studovaného N-částicového systému. V případě rozlišitelných částic bezezbytku, v případě částic nerozlišitelných je třeba zajistit správné chování této funkce vzhledem k permutaci částic.

Tak např. pro bosony musíme použít vlnovou funkci symetrickou,

Suma naznačená v uvedeném výrazu probíhá přes všechny různé permutace částic a faktor je do něj zahrnut v zájmu zachování normalizace vícečásticové vlnové funkce.

Pro fermiony musíme naopak použít vlnovou funkci antisymetrickou

kde suma probíhá opět přes všechny různé permutace částic a sign(P) označuje znaménko konkrétní permutace P.

Významným důsledkem získaného tvaru antisymetrické vlnové funkce fermionů je Pauliho vylučovací princip.

Vícečásticové vlnové funkce konstruované jako antisymetrizovaný součin vlnových funkcí jednočásticových hrají významnou roli při popisu elektronů v elektronových obalech atomů a molekul. V atomové fyzice se obvykle vyjadřují pomocí Slaterových determinantů.

Literatura

[1] FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 558-566.