4.10.6 Stacionární poruchová teorie - podrobný výpočet pro nedegenerované diskrétní spektrum

 

Předpokládejme, že je možno hamiltonián systému psát ve tvaru

 

 

kde operátor    je malou poruchou k neporušenému hamiltoniánu   Dále předpokládejme, že neporušený hamiltonián    nedegenerované a čistě diskrétní spektrum. Platí tedy

   n = 1,2,… ,

 

kde vlnové funkce    tvoří bázi na prostoru stavů studovaného systému. Předpokládáme ovšem, že neporušenou stacionární Schrödingerovu rovnici umíme řešit. Hodnoty vlastních energií    i odpovídající vlnové funkce    tedy známe.

 

Porucha    je v jistém smyslu velmi malá, což vyjádříme vztahem    kde  e  je malé kladné číslo. Proto její zahrnutí do hamiltoniánu systému změní energetické spektrum i odpovídající vlnové funkce jen velmi málo. Tuto změnu můžeme proto vyjádřit prostřednictvím poruchových řad

 

  

 

Vlnové funkce    a vlastní energie    přitom splňují „porušenou“ Schrödingerovu rovnici    nebo podrobněji

 

 

Po roznásobení a porovnání členů se stejnými mocninami e dává poslední z uvedených rovnic následující podmínky pro koeficienty hledaných poruchových rozvojů do prvního řádu:

 

První ze získaných rovnic je stacionární Schrödingerovou rovnicí pro neporušený hamiltonián    její řešení tedy podle předpokladu známe. Pomocí tohoto řešení nalezneme prostřednictvím druhé z uvedených rovnic korekce prvního řádu   a   a pomocí dalších, zde explicitně neuvedených rovnic, i korekce vyšší. Teoreticky takto můžeme získat odpovídající korekce libovolného řádu a jejich dosazením do výše uvedených poruchových řad i přesná řešení porušené Schrödingerovy rovnice.

 

Nalezení poruchových příspěvků vyšších řádů je však často technicky velmi komplikovaným problémem. Zpravidla se proto omezujeme jen na několik málo prvních poruchových příspěvků, přičemž předpokládáme, že námi zanedbaný zbytek poruchových řad je opravdu zanedbatelný. Nezřídka se spokojíme s přiblížením prvního řádu

   

 

Ukažme si, jak poruchy prvního řádu najít. Především můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že vlnové funkce    a    jsou ortogonální. Pak ovšem platí

 

 

a z rovnice pro  plyne    neboli

 

 

Poslední z uvedených formulí tedy poskytuje vyjádření vlastní energie porušeného hamiltoniánu    v prvním řádu poruchové teorie.

 

Proveďme nyní obdobný výpočet pro odpovídající vlnovou funkci. Především můžeme díky úplnosti systému vlastních funkcí neporušeného hamiltoniánu   psát (viz princip superpozice)   kde    Vynásobením rovnice pro  zleva bra-vektorem      pak již ale snadno získáme hledané koeficienty


Předchozí     Následující