6.6 Vlastní hodnoty a vlastní vektory samosdružených
operátorů
Část teorie lineárních operátorů na Hilbertových prostorech zabývající se jejich vlastními vektory a vlastními hodnotami se obvykle nazývá spektrální analýza operátorů. I pro speciální případ samosdružených operátorů se jedná o velice komplikovanou matematickou teorii, z níž si můžeme nastínit pouze základní pojmy a fakta. Bližší poučení je možno nalézt ve specializované literatuře (viz např. [1]) či v monografii Formánkově [2].
Vlastní hodnoty a vlastní vektory
Nechť 
je lineární operátor
na Hilbertově prostoru V. Nenulový vektor 
z tohoto prostoru
nazveme vlastním vektorem operátoru
odpovídajícím vlastní
hodnotě (vlastnímu číslu) a, je-li splněna podmínka
Množinu všech vlastních hodnot nazýváme pak obvykle též spektrem
vlastních hodnot operátoru 
Vlastními vektory operátorů reprezentujících v kvantové mechanice dynamické proměnné studovaného systému jsou speciální vlnové funkce. Obvykle je nazýváme funkcemi vlastními.
Lineární kombinace dvou vlastních vektorů, které odpovídají
téže vlastní hodnotě operátoru 
je zřejmě rovněž
vlastním vektorem odpovídajícím stejné vlastní hodnotě.
Vlastní hodnoty a vlastní vektory
samosdružených operátorů
Pro (nenulový) vlastní vektor samosdruženého
operátoru a odpovídající
vlastní hodnotu a totiž platí
a 
Vzhledem k samosdruženosti operátoru platí ale též 
a tedy i 
Jsou-li totiž a 
vlastní vektory
příslušné k různým vlastním hodnotám a a b, můžeme psát
Dále však platí
a proto též
Vlastní hodnoty a a b jsou ale podle předpokladu různé, proto musí nutně platit
[1] BLANK, J., EXNER, P. a HAVLÍČEK, M. Lineární operátory v kvantové fyzice. 1. vyd. Praha:
Karolinum, 1993. 678 s. ISBN 80-7066-586-6.
[2] FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. s. 722-753.
