4.9.6 Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová
jáma konečné hloubky - podrobné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice
Stacionární Schrödingerovu rovnici řešíme pro potenciál reprezentující jednorozměrnou pravoúhlou potenciálovou jámu konečné hloubky odděleně na intervalu (0,L) a mimo něj. Jednotlivé části vlnové funkce zúžené na odpovídající intervaly osy x označme (pozn.)
Pro potenciál s nespojitostmi typu konečného skoku v bodech x = 0 a x = L musí být vlnová funkce y v uvedených bodech spojitá a mít v nich spojitou první derivaci (pozn.). To znamená, že je nutno splnit tzv. sešívací podmínky
Splněny musí být pochopitelně i podmínky okrajové.
Řešení stacionární Schrödingerovy rovnice
Stacionární Schrödingerova rovnice nabývá po výše naznačeném rozdělení vlnové funkce y na tři části a po jednoduchých úpravách tvaru
Řešení uvedených rovnic můžeme hledat obvyklým způsobem. Vzhledem k charakteru potenciálu je ovšem nezbytné odděleně analyzovat tyto speciální případy
·
·
·
·
·
To by však bylo
velmi zdlouhavé, a proto se v následujícím omezíme jen na tzv. vázané
stavy charakterizované podmínkou
Nejdříve si ale u
ostatních možností uveďme alespoň hlavní výsledky, k nimž bychom dospěli.
·
Hodnoty energie
a 
nejsou přípustné.
Částice nacházející se v jednorozměrné potenciálové jámě konečné hloubky
jich tedy nemůže nabývat.
·
Hodnoty energie
patří ke spojité
části spektra. Každá z těchto hladin je navíc dvakrát degenerovaná. Každé
energii odpovídají totiž dvě
nezávislé vlastní vlnové funkce 
a 
které můžeme volit
např. ve tvaru (pozn.)
pro 
pro 
pro 
pro
pro
pro
kde 
A je libovolná konstanta a
zde explicitně neuváděné výrazy pro 
a 
vyplývají ze sešívacích podmínek.
Vázané stavy
Pro splňující 
můžeme výše uvedené
rovnice přepsat do tvaru
kde 
a 
Jejich obecné řešení
je dáno formulemi
(jinak by uvedená vlnová funkce
divergovala v 
) a výše uvedených podmínek
sešívacích.
Okrajové podmínky jsou splněny,
platí-li 
sešívací podmínky
vedou k soustavě čtyř homogenních lineárních algebraických rovnic pro neznámé
konstanty 
a 
Aby tyto rovnice měly
nenulové řešení, musí být determinant soustavy nulový. Po nezbytných úpravách
nabývá tato podmínka tvaru
Symboly 
a 
zde označujeme polouzavřené
intervaly, tedy množiny všech reálných
x splňujících
resp. 
Podobně symbolem 
resp. 
označujeme interval uzavřený resp.
otevřený, tj. množiny všech reálných
x splňujících
resp. 
Ze
Schrödingerovy rovnice zapsané ve tvaru 
vyplývá, že pro
potenciál s nespojitostmi typu konečného skoku bude mít stejné
nespojitosti i druhá derivace vlnové funkce
y.
Z diferenciálního počtu ale víme, že v takovém případě bude
funkce sama i její první derivace spojitá.
Uvedené
rovnice jsou lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními koeficienty
a nulovou pravou stranou. O způsobu jejich řešení se může čtenář poučit např. v
REKTORYS, K., aj. Přehled užité matematiky. 4. vyd. Praha: SNTL, 1981. 1139 s.
s. 649-652.
Jen z technických
důvodů použijeme zde uvedený tvar obecného řešení pro
místo obvyklého tvaru
Významně to totiž zjednoduší řešení
problému.
