4.9 L’Hospitalovo pravidlo

V této kapitole si ukážeme, jak počítat limity, které po bezprostředním použití věty o limitě podílu (viz kapitola 1.1) přecházejí na neurčité výrazy    a  (viz zde).  Zmíníme se i o některých dalších typech limit, u nichž rovněž není přímá aplikace algebraických pravidel možná.

Věta

Nechť   a    jsou funkce diferencovatelné na nějakém okolí bodu  a (a  může být vlastní i nevlastní), které navíc splňují

,

nebo

.

Existuje-li  ,  pak existuje i    a platí

.

Poznámka

Předcházející věta dává návod, jak si poradit s neurčitými limitami typu    a v případě druhé podmínky zejména s neurčitými limitami typu  .  Při jejím použití však musíme být obezřetní. Vždy totiž musí být splněny uvedené předpoklady. Především obě funkce musí mít v zadaném bodě buď současně nulovou limitu, nebo limita absolutní hodnoty funkce ve jmenovateli musí být nekonečná. Jinak větu použít nelze!

Větu je možno stručně formulovat tak, že při splnění výše uvedených podmínek je limita podílu rovna limitě podílu derivací. Všimněte si, že ve vzorci se skutečně vyskytuje podíl derivací, nikoliv derivace podílu!

Poznámka

Často se stává, že po aplikaci L’Hospitalova pravidla dospějeme opět k neurčité limitě typu    a  .  Při jejím výpočtu můžeme uvedeného pravidla použít znovu a tento postup opakovat tak dlouho, dokud nezískáme hledaný výsledek.

Poznámka

L’Hospitalovo pravidlo můžeme použít i při výpočtu jednostranných limit typu    a  .

Poznámka

Kromě výše uvedených typů neurčitých výrazů existuje celá řada dalších limit, při jejichž výpočtu lze L’Hospitalova pravidla po jistých úpravách rovněž použít:

· limity typu
· limity typu
· limity typu 0^0
· limity typu
· limity typu