4.4.1 Definice derivace

první derivace
vyšší derivace

Zavedení pojmu derivace bylo inspirováno potřebou řešit některé konkrétní a navýsost praktické problémy jako např.

·        určení směrnice tečny ke grafu zadané funkce v zadaném bodě,
·        určení okamžitých hodnot rychlosti a zrychlení.

Definice (první derivace)

Nechť je funkce  f (x) definována na nějakém okolí bodu  a.  Řekneme, že tato funkce má v bodě  a  vlastní derivaci, pokud existuje vlastní limita

.

Tuto limitu pak nazýváme vlastní derivací funkce  f  v bodě  a  a užíváme pro ni obvykle označení   nebo  též  . Je-li uvedená limita nevlastní, hovoříme o nevlastní derivaci funkce  f  v bodě  a.

Jednostrannou limitu

 , resp.  ,

nazýváme derivací funkce  f  v bodě  a  zleva, resp. zprava.

Poznámka

V mnoha učebnicích je derivace funkce  f  v bodě  a  definována zcela ekvivalentním způsobem jako

.

Definice (diferencovatelná funkce)

O funkcích, které mají v bodě  a  vlastní derivaci, se často hovoří jako o funkcích (jedenkrát) diferencovatelných v zadaném bodě. Funkce, které mají vlastní derivaci v každém bodě nějakého otevřeného intervalu, se nazývají (jedenkrát) diferencovatelné na intervalu [1]. Derivaci v libovolném bodě zadaného intervalu pak obvykle značíme    nebo  též  .

Poznámka (vyšší derivace)

Funkce  f,  která je diferencovatelná na nějakém otevřeném intervalu, má vlastní derivaci v každém jeho bodě. Derivováním získáme tedy z funkce  f  funkci novou – .  Tu se můžeme pokusit opět derivovat v každém bodě zmíněného intervalu. Ve všech bodech, v nichž bude tento pokus úspěšný, získáme tzv. druhou derivaci funkce  f  –  .  Dalším derivováním můžeme získat derivaci třetí  –  ,  čtvrtou –  ,  a obecně až derivaci řádu n  –  . O těchto derivacích hovoříme obvykle jako o derivacích vyšších. Používáme pro ně, kromě právě uvedeného, také označení .

[1] Graf diferencovatelné funkce je na zadaném intervalu hladký a nevyskytují se na něm žádné "rohy".