4.3.1 Definice limit

Definice (redukované okolí bodu)

Redukovaným D-okolím bodu  [1] nazýváme sjednocení intervalů  .

Definice (vlastní limita ve vlastním bodě)

Nechť je funkce  f  definována na nějakém redukovaném okolí bodu  a.  Řekneme, že funkce  f  má v bodě  a  vlastní limitu  A  , právě když

  platí  .

Zkráceně tento fakt zapisujeme symbolem  .

Poznámka

Všimněte si, že funkce  f  nemusí být v bodě  a,  v němž vyšetřujeme její limitu, vůbec definována. Výše uvedená definice totiž popisuje pouze, kam „směřují“ funkční hodnoty  f,  když se s nezávislou proměnnou  x  blížíme neomezeně blízko bodu  a  (aniž jej ovšem dosáhneme). Pokud je funkce  f  v bodě  a  definována, nemusejí být obecně její funkční hodnota a její limita v tomto bodě totožné.

Poznámka

Všimněte si, že spojitost funkce  f  v bodě  a  můžeme vyjádřit zkráceně vztahem

.

Definice (nevlastní limity ve vlastním bodě)

Nechť je funkce f definována na nějakém redukovaném okolí bodu a. Řekneme, že funkce  f  má v bodě  a  nevlastní limitu  ,  právě když

  platí  .

Zkráceně tento fakt vyjadřujeme symbolem  .

Řekneme, že funkce  f  má v bodě  a  nevlastní limitu  ,  právě když

  platí  .

Zkráceně tento fakt vyjadřujeme symbolem  .

Poznámka

Definice nevlastních limit popisuje situaci, kdy funkční hodnoty funkce  f   rostou nade všechny meze, nebo pod všechny meze klesají, pokud se její nezávislá proměnná blíží k hodnotě  a.

Poznámka

Zatím jsme v definicích limity předpokládali, že se nezávislá proměnná blíží k zadané hodnotě z obou stran současně - zleva i zprava. Často bývá užitečné umět popsat situaci, kdy je toto přibližování jednostranné, tj. buď zleva, nebo zprava. Pak hovoříme o jednostranných limitách. Uveďme si jejich přesné definice na příkladu vlastní limity. Zobecnění na případ limit nevlastních je pak přímočaré.

Definice (jednostranné vlastní limity ve vlastním bodě)

Nechť je funkce  f  definována na otevřeném intervalu  ,  kde  a  je reálné číslo. Řekneme, že funkce  f  má v bodě  a  zleva vlastní limitu  A ,  právě když

  platí  .

Zkráceně tento fakt zapisujeme symbolem  .

Nechť je funkce  f  definována na otevřeném intervalu  ,  kde  a  je reálné číslo. Řekneme, že funkce  f  má v bodě  a  zprava vlastní limitu  A ,  právě když

  platí  .

Zkráceně tento fakt zapisujeme symbolem  .

Poznámka

Má-li funkce  f  v bodě  a  limitu (vlastní či nevlastní), má v tomto bodě zřejmě obě jednostranné limity, které jsou navíc této limitě rovny. Naopak, pokud existují obě jednostranné limity a jsou si navzájem rovny, má nutně funkce  f  v bodě  a  limitu. Pokud si ale rovny nejsou, limita funkce v daném bodě neexistuje.

Poznámka

Všimněte si, že spojitost funkce f v bodě a zleva (zprava) můžeme vyjádřit vztahy

.

Poznámka

Kromě chování funkcí v blízkosti reálného bodu  a  nás často zajímá chování funkce v případě, že se nezávislá proměnná blíží k nekonečnu. Pro tento účel definujeme limity v nevlastních bodech reálné osy, tj. v    a  .

Definice (vlastní limity v nevlastních bodech)

Nechť je funkce  f  definována na intervalu  .  Řekneme, že má v   vlastní limitu  A,  právě když

  platí  .

Používáme též zkrácený zápis  .

Nechť je funkce  f  definována na intervalu  .  Řekneme, že má v  vlastní limitu  A,  právě když

  platí  .

Používáme též zkrácený zápis  .

Poznámka

Zcela analogickým způsobem se definují i nevlastní limity v nevlastních bodech. Pokuste se tyto definice (celkem čtyři) zformulovat sami!