4.3.2 Věty o limitách

nerovnosti mezi limitami
algebra limit

Věta (nerovnosti mezi limitami)

Nechť funkce  f  a  g  definované na nějakém redukovaném okolí bodu  a  splňují pro všechna  x  z tohoto okolí nerovnost

.

 Existují-li limity těchto funkcí v bodě  a  (vlastní či nevlastní), platí

.

Speciálně tedy můžeme psát

,

.

Věta (nerovnosti mezi limitami)

Nechť funkce  f ,  g  a  h  definované na nějakém redukovaném okolí bodu  a  splňují pro všechna  x  z tohoto okolí nerovnost

.

Existují-li vlastní limity funkcí   f  a  h  v bodě  a,  které jsou si navíc rovny, existuje v tomto bodě i limita funkce  g  a platí

.

Poznámka

Právě uvedené věty o nerovnostech mezi limitami je možno přeformulovat i pro jednostranné limity a limity v nevlastních bodech  . Proveďte sami!

Věta (algebra limit)

Limity v této větě mohou být vlastní i nevlastní (tj. konečné i nekonečné), ve vlastních i nevlastních bodech (tj. a může nabývat konečných i nekonečných hodnot) [1]. Pokud mají výrazy na pravé straně rovností smysl, platí

,

,

,

.

Poznámka

Věta se velmi snadno pamatuje: Limita součtu je rovna součtu limit atd.

Poznámka

Důležitou součástí věty je předpoklad, že pravé strany mají smysl. To především znamená, že limity na pravých stranách existují a navíc limita ve jmenovateli v posledním vztahu je nenulová. Vzhledem k tomu, že tyto limity mohou být obecně nevlastní, musíme respektovat některá speciální pravidla pro počítání s nekonečny.

[1] A také pouze jednostranné.