4.6.1 Intervaly monotonie

Věta

Nechť je funkce  f   spojitá na intervalu    a má na intervalu  první derivaci. Pak platí

·           na     je  f  na    rostoucí,

·           na     je  f  na    klesající,

·        f  je na    neklesající     na  ,

·        f  je na    nerostoucí     na  .

Poznámka

Nalezení intervalů monotonie tedy v praxi znamená řešit nerovnice    a  .

Známe-li intervaly monotonie zadané funkce, umíme určit body, v nichž tato funkce nabývá svých lokálních extrémů, popř. charakter těchto extrémů, aniž počítáme její vyšší derivace - tedy tak, jak uvádíme zde.

·    Je-li funkce v zadaném bodě spojitá, vlevo od něj rostoucí a vpravo klesající, nabývá v něm svého ostrého lokálního maxima.
·    Je-li naopak tato funkce vlevo od zadaného bodu klesající a vpravo od něj rostoucí, nabývá v něm ostrého lokálního minima.
·    V případě funkce vlevo neklesající a vpravo nerostoucí můžeme v zadaném bodě zaručit pouze existenci (neostrého) lokálního maxima a pro funkci vlevo nerostoucí a vpravo neklesající existenci (neostrého) lokálního minima.
·    V ostatních případech funkce v daném bodě extrém nemá.