4.5.2 Globální extrémy

Definice

Nechť je funkce  f  definována na nějaké podmnožině reálných čísel  .  Řekneme, že funkce  f  nabývá v bodě 

·        maxima na A                            ,

·        ostrého maxima na A            ,

·        minima na A                            ,

·        ostrého minima na A             .

Maxima a minima funkce  f  na množině  A  obvykle označujeme souhrnným názvem globální extrémy.

Poznámka

Extrémy zadané funkce vyšetřujme zpravidla na nějakém intervalu reálné osy. Obecně však nemusí funkce ani jeden z extrémů na daném intervalu mít. Pro uzavřené intervaly je však existence globálních extrémů, jak naznačuje následující důležitá věta, zaručena.

Věta

Spojitá funkce nabývá na uzavřeném intervalu svého maxima i minima.

Poznámka

Pokud hledáme extrémy funkce  f  na uzavřeném intervalu  ,  je zřejmé, že je musíme hledat buď v krajních bodech  a, b,  nebo uvnitř tohoto intervalu, tj. v bodech otevřeného intervalu  .  V druhém případě se bude ovšem nutně jednat o extrémy lokální. Ve všech bodech  ,  v nichž má  f  první derivaci, je nutnou podmínkou pro existenci lokálního extrému její nulovost. Kromě toho se mohou lokální extrémy vyskytovat v bodech, v nichž funkce derivaci nemá nebo je dokonce nespojitá. Jaká je tedy strategie, kterou musíme zvolit při hledání extrémů funkce  f  na uzavřeném intervalu?

Především nalezneme  body, v nichž by funkce mohla extrému nabývat. Mezi ně patří

·        krajní body intervalu,
·        body, v nichž má studovaná funkce nulovou derivaci,
·        body, v nichž funkce derivaci nemá nebo je dokonce nespojitá.

Takových bodů je zpravidla konečně mnoho, obvykle jen několik málo.

Dále sestavíme tabulku funkčních hodnot studované funkce v nalezených bodech. Pomocí této tabulky již můžeme učinit konečné rozhodnutí. V bodech odpovídajících největší funkční hodnotě nabývá funkce svého maxima, v bodech s nejmenší funkční hodnotou pak svého minima. Podle počtu těchto bodů již snadno rozhodneme, zda se jedná o extrémy ostré.

Uvedený postup můžeme zobecnit i na vyšetřování extrémů spojité funkce na konečném sjednocení uzavřených intervalů.

Poznámka

Hledáme-li extrémy funkce  f  na intervalu polouzavřeném či otevřeném, dozná postup z předcházející poznámky některých změn.

Především musíme z množiny bodů, v nichž můžeme výskyt extrému očekávat, vyloučit krajní body intervalu, které do něj nepatří. Ostatní body zachováme.

Podobně jako výše nalezneme v těchto bodech odpovídající funkční hodnoty a porovnáme je. Navíc je ale musíme porovnat i s odpovídajícími jednostrannými limitami funkce v krajních bodech, které do vyšetřovaného intervalu nepatří (pokud ovšem tyto limity existují).

·        Bude-li největší z těchto limit větší než největší funkční hodnota nabývaná v ostatních vyšetřovaných  bodech, funkce svého maxima na studovaném intervalu nenabývá.
·        Naopak bude-li největší z těchto limit menší než největší funkční hodnota nabývaná v ostatních bodech, funkce svého maxima na studovaném intervalu v některém z těchto bodů nabývá.

Podobné závěry můžeme formulovat i pro existenci či neexistenci minima. Proveďte sami!

Mnohem obtížnější je analýza v případě, že v některém z krajních bodů, které nepatří do vyšetřovaného intervalu, odpovídající jednostranná limita vůbec neexistuje. Pak musíme velmi podrobně vyšetřit chování studované funkce poblíž takového bodu. Jak? Odpověď (nikoliv však stručnou a jednoduchou) na tuto otázku můžete nalézt zde.