3.2 Aplikace mol. fyziky

 

Rychlost molekul plynu

Molekuly plynu se neustále neuspořádaně pohybují a tudíž na sebe narážejí. Z toho vyplývá, že molekuly mají různou rychlost a rozdílný směr pohybu.

Rozdělení molekul podle rychlosti je nerovnoměrné a závisí na chemickém složení a teplotě plynu. Největší počet molekul má tzv. nejpravděpodobnější rychlost. Základy studia položil J. C. Maxwell již v polovině 19. století. Maxwell odvodil vztah pro rozdělení rychlostí molekul daného plynu při určité termodynamické teplotě, tzv. rozdělovací zákon pro 1 mol plynu. Rozdělovací zákon platí pro plyn ve stavu termodynamické rovnováhy, na který nepůsobí vnější síly. Matematická formulace Maxwellova rozdělovacího zákona není jednoduchá. Nám bude stačit pamatovat si, jak vypadá graf rozdělení. Následující vztahy pro nejpravděpodobnější a střední kvadratickou rychlost ze zákona vyplývají:

Nejpravděpodobnější rychlost vp je rychlost, kterou se pohybuje největší počet molekul plynu.

3.2. image1.bmp (9462 bytes)

k  je Boltzmannova konstanta (k = 1,38 × 10-23 J/K), T je termodynamická teplota a m je hmotnost molekuly.

    Střední kvadratickou rychlostí vk by se teoreticky měly pohybovat všechny molekuly, kdyby se pohybovaly stejnou rychlostí a celková kinetická energie ideálního plynu by odpovídala kinetické energii, ktero plyn za dané teploty má.

                                                                                3.2. image2.bmp (8946 bytes)                                                                      (i)

V praxi se však všechny pohybují různými rychlostmi. Celková kinetická energie soustavy molekul s vk je shodná s energií reálné soustavy. Střední kvadratické rychlosti odpovídá střední kinetická energie jedné molekuly.

Střední kvadratické rychlosti pro molekuly jednotlivých plynů jsou běžně udávány v tabulkách.

Pro vzduch je při 0 °C vk = 485 m/s.

Poznámka: Na základě těchto vědomostí můžeme určit vztah pro střední kinetickou energii molekuly ideálního plynu.

                                                                                     3.2. image3.bmp (8238 bytes)3.2. image4.bmp (6214 bytes)                                                  (ii)

! Ze vztahů (i) a (ii) vyplývá, že rychlost i kinetická energie závisí na teplotě !

graf.bmp (11598 bytes)

 

Tlak plynu

Podle kinetické teorie plynů je způsoben tlak v nádobě s plynem narážením molekul na stěny nádoby. Srážky molekul se stěnami jsou podobné jako srážky mezi molekulami. Považujeme je za dokonale pružné. Na ideální plyn v nádobě nepůsobí žádné vnější síly. Pro zjednodušení neuvažujeme ani půobení tíhového pole Země.

 

Odvodíme vztah pro střední tlak ideálního plynu. Tento vztah je základním vztahem z něhož lze odvodit zákony platné pro ideální plyn.

Objem nádoby* je V. Počet molekul plynu v jednotce objemu je N0. Stěna nádoby má plochu S. Při odvození vztahu budeme vycházet z některých zjednodušených předpokladů. Na výsledek to nebude mít kvalitativní vliv.

obrázek.bmp (11598 bytes)

Nejprve využijeme princip molekulového chaosu. Potom jedna třetina molekul se pohybuje ve směru osy x. Při tepelném pohybu není žádný směr pohybu upřednostňován. Rychlost molekul je v. Druhá třetina molekul se pohybuje ve směru osy y a třetí ve směru osy z.

Počet molekul, které za jednotku času dopadnou na stěnu nádoby je

3.2. image5.bmp (17694 bytes)

Změna hybnosti jedné molekuly při dopadu na stěnu je

3.2. image6.bmp (8902 bytes)**

Celková změna hybnosti je

3.2. image7.bmp (19458 bytes)

 

Tlak plynu je v mechanice definován jako síla působící na plochu. S použitím druhého pohybového zákona dostaneme konečný vztah pro střední tlak ideálního plynu

3.2. image8.bmp (15606 bytes)

 

Poznámka: Předpokládali jsme, že rychlosti všech molekul jsou stejné. Víme ale, že existuje Maxwellův vztah pro rozdělení rychlostí molekul. Abychom výsledný vztah přiblížili skutečnosti, nahradíme rychlost v  střední kvadratickou rychlostí vk.

3.2. image9.bmp (16910 bytes)

 

* Nádoba může mít zcela libovolný tvar. Z praktických důvodů budeme uvažovat krychli.

** Ve vztahu je 2, protože molekula narazí na zeď určitou hybností a po pružném odrazu je její hybnost opačná, ale stejně veliká.

 

Up 3.1 Ideální plyn 3.2 Aplikace mol. fyziky 3.3 Stavová rovnice 3.4 1.TZ a ideální plyn 3.5 Carnotův cyklus 3.6 2. termodyn. princip 3.7 3. termodyn. princip