+ 
2.5 Lokální extrémy
Teorii naleznete v kapitole 5.9 a 5.9.2 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 2.5 Breviáře.
Příklad 1
Nalezněte lokální extrémy funkce f(x,y) = xy +
Řešení
Body, v nichž jediných můžeme extrémy očekávat, hledáme jako nulové body parciálních derivací. 
f(x,y)
f(x,y)
Nalezneme bod, ve kterém jsou obě první derivace nulové.
Funkce má nulové obě první derivace v bodě (1, 2).(Pozn. Ostatní nalezené body nemají reálné souřadnice.)
Zda se extrém v bodě (1, 2) opravdu vyskytuje a pokud ano, tak jakého typu, o tom rozhodneme pomocí druhých parciálních derivací.
Sestavíme Hessovu matici v bodě (1, 2).
A = 
Můžeme tedy psát:
A = 
Vypočteme vlasní čísla Hessovy matice:
Obě vlastní čísla jsou tedy kladná, Hessova matice je tedy pozitivně definitní a funkce f(x,y) = xy 
+ 
nabývá v bodě (1, 2) lokálního minima.
Na závěr můžeme znázornit graf zadané funkce na okolí bodu (1, 2). Z grafu funkce vidímě, že funkce f(x,y) = xy 
+ 
skutečně nabývá minima v bodě (1, 2).
Příklad 2
Nalezněte lokální extrémy funkce f(x,y) = 
- 3xy
Řešení
Body, v nichž jediných můžeme extrémy očekávat, hledáme jako nulové body parciálních derivací. 
f(x,y)
f(x,y)
Nalezneme bod, ve kterém jsou obě první derivace nulové.
Funkce má nulové obě první derivace ve dvou bodech: (1, 1) a (0,0). (Ostatní body, které nalezla Mathematica, nemají reálné souřadnice.)
Nyní pomocí druhých derivací prověříme, zda se v těchto bodech vyskytují lokální extrémy a pokud ano, tak určíme jejich typ.
a) bod (1, 1)
Sestavíme Hessovu matici v bodě (1,1).
A = 
Můžeme tedy psát:
A = 
Vypočteme vlasní čísla Hessovy matice:
Obě vlastní čísla jsou tedy kladná, Hessova matice je tedy pozitivně definitní a funkce f(x,y) = 
- 3xy nabývá v bodě (1,1)) lokálního minima.
Na závěr můžeme znázornit graf zadané funkce na okolí bodu (1,1). Z grafu funkce vidímě, že funkce f(x,y) = 
- 3xy skutečně nabývá minima v bodě (1, 1).
b) bod (0, 0)
Sestavíme Hessovu matici v bodě (1,1).
A = 
Můžeme tedy psát:
A = 
Vypočteme vlasní čísla Hessovy matice:
Vlastní čísla mají různá znaménka, Hessova matice je tedy indefinitní a funkce f(x,y) = 
- 3xy má v bodě (0,0) sedlový bod.
U funkce dvou proměnných lze sedlový bod graficky znázornit. Zobrazíme si graf zadané funkce na okolí sedlového bodu.
Na závěr si znázorníme graf funkce f(x,y) = 
- 3xy na oblasti obsahující oba stacionární body, tzn. lokální minimum v bodě (1,1) i sedlový bod v bodě (0,0).
Příklad 3
Nalezněte lokální extrémy funkce f(x,y,z) = 
Řešení
Postup je stejný jako v předcházejících případech. Nejdříve hledáme nulové body prvních parciálních derivací.
Nyní nalezneme body, pro které jsou všechny první derivace rovny nule.
Existuje tedy jediný bod (1,0,1), v němž může zadaná funkce lokálního extrému nabývat.
Ověření, zda je tento bod skutečně bodem lokálního extrému, provedeme pomocí druhých derivací, přesněji podle znamének vlastních čísel matice
A = 
MAtice A má tedy v bodě (1, 0, 1) tvar
A = 
Vlastní čísla diagonální matice jsou rovny číslům na hlavní diagonále. Můžeme je přesto vypočítat programem Mathematica.
Vlastní čísla matice A mají různá znaménka, v bodě (1, 0, 1) tedy není lokální extrém, ale jen sedlový bod.
Graf funkce tří proměnných se znázornit nedá, jedná se o trojrozměrnou "plochu" ve čtyřrozměrném prostoru. Můžeme se ale pokusit znázornit např. tři řezy grafem této funkce procházejícími sedlovým bodem na okolí tohoto sedlového bodu, např. rovinami x=1, y=0 a z=1.
Řez grafu rovinou x=1 procházející sedlovým bodem:
Řez grafu rovinou y=0 procházející sedlovým bodem:
Řez grafu rovinou z=1 procházející sedlovým bodem:
U funkce tří proměnných jsou naše geometrické představy o grafu funkce již značně limitovány. Přesto z řezů grafu rovinami x=1 a y=0 je vidět, že se v bodě (1,0,1) opravdu nachází sedlový bod.
