Potenciálnost trojrozměrného vektorového pole testujeme pomocí operátoru rotace. Je-li rotace testovaného pole na jisté oblasti nenulová, pole na této oblasti potenciál nemá. (Je-li naopak nulová na jednoduše souvislé oblasti, pole na této oblasti potenciál má.) Naším úkolem je tedy spočítat rot F (znaménko vektorového součinu vkládáme přes Vector and Matrix Toolbar).
Mathcad bohužel nemá operátor rotace zabudován, ale my si jej můžeme zavést pomocí funkce sami (viz Help - Nápověda).
Protože jsme předpokládali, že vektor A je nenulový, tj. má alespoň jednu složku nenulovou, je nenulová i rotace pole F, a proto pole nemá potenciál.
Určete, za jakých podmínek má vektorové pole F=A x (B x r) potenciál; A a B jsou konstantní vektory a r=[x,y,z].
Vektorové pole je definováno na celém R3, což je jednoduše souvislá oblast, podmínkou jeho potenciálnosti je tedy nulovost
rot F. Určeme proto nejdříve tuto rotaci.
Mathcad bohužel nemá operátor rotace zabudován, ale my si jej můžeme opět zavést pomocí funkce sami, oproti předchozí deklaraci, však tato deklarace bude obsahovat další tři nezávislé parametry.
Vektorové pole F má tedy potenciál, je-li vektorový součin vektorů A a B nulový. Tyto vektory musí proto splňovat jednu z následujících podmínek: a) A = 0, b) B = 0 nebo c) A a B jsou kolineární nenulové vektory, A =
.
Bez použití křivkových integrálů určete potenciál dvourozměrného vektorového pole F=
, kde r=[x,y] a
=
.
Obecný postup pro výpočet potenciálu vektorového pole je uveden v Breviáři na str. 76 (odstavec Nalezení potenciálu vektorového pole v rovině). Identifikujte v níže uvedeném postupu jednotlivé kroky obecného návodu z Breviáře.
Obecný postup pro nalezení potenciálu zadaného pole (u kterého jsme jeho potenciálnost ověřili předem, tentokrát nutné!) je uveden v Breviáři na str. 76 - 77 (odstavec Určení potenciálu pomocí křivkových integrálů).
Zvolíme v rovině xy pevný bod [x0,y0]. Dále pak křivku spojující tento pevný bod s libovolným bodem [x,y]:
