13.2 Určení potenciálu metodou postupných integrací

Poznámka

Pro jednoduchost si celý postup ukážeme na příkladu dvojrozměrného vektorového pole. Pro vícerozměrná vektorová pole bychom postupovali naprosto stejně, celá procedura by jen byla s rostoucí dimenzí pole stále a stále pracnější.

Příklad

Budiž    spojitě diferencovatelné vektorové pole definované na nějaké oblasti v rovině. Jeho potenciál, pokud existuje, je definován vztahy

  a   .

Levé strany těchto vztahů jsou zadané funkce, potenciál můžeme proto získat jejich integrací.

Z prvního vztahu máme

,

kde naznačený neurčitý integrál počítáme tak, že na nezávislou proměnnou  y  pohlížíme během integrace jako na konstantu. Explicitně uvedená integrační konstanta  C  může proto rovněž na  y  záviset.

Derivováním takto získaného vztahu podle  y  dostaneme

a po úpravách

.

Má-li pole  F  potenciál, závisí pravá strana poslední rovnosti pouze na nezávislé proměnné  y, a neznámou funkci    můžeme v takovém případě snadno získat (s přesností až na aditivní konstantu, tentokrát již skutečnou) prostou integrací. Pokud ovšem pravá strana závisí i na nezávislé proměnné  x,  potenciál vektorového pole  F  neexistuje.