13.1 Potenciál vektorového pole

V této kapitole se budeme zabývat obecnými vektorovými poli na  .  V technických a přírodovědných aplikacích jsou sice nejzajímavější případy    a    (vektorová pole v rovině a prostoru), obecná teorie ale není o mnoho komplikovanější než v obou speciálních případech. Pokud nebude zdůrazněno jinak, budeme pracovat s jedenkrát spojitě diferencovatelnými poli na nějaké oblasti (souvislé otevřené množině [1]) z  .

Definice

Potenciálem vektorového pole    nazveme takovou reálnou funkci , která splňuje

.

Vektorové pole, které má potenciál, nazveme potenciálové.

Poznámka

Vztah mezi vektorovým polem  F  a jeho potenciálem  U  můžeme zkráceně zapsat pomocí operátoru gradientu [2] .  V přírodních vědách (např. ve fyzice) se obvykle používá poněkud odlišná definice   .

Poznámka

Obecné vektorové pole nemusí mít žádný potenciál. Pokud jej na nějaké oblasti má, je tento potenciál určen jednoznačně až na aditivní konstantu.

Věta (nutná podmínka potenciálnosti vektorového pole)

Má-li spojitě diferencovatelné vektorové pole  F  potenciál na oblasti  A,  platí pro každé  x  z této oblasti a pro každou dvojici   [3]

.

Poznámka

Uvědomme si, že výše uvedené podmínky pro derivace složek pole jsou pouze podmínkami nutnými. Samy o sobě nestačí k tomu, aby vektorové pole  F  vůbec nějaký potenciál mělo [4].

Nutnou podmínkou potenciálnosti vektorového pole v rovině je jednoduchý (a jediný) vztah

.

V případě trojrozměrných polí v prostoru je možno přepsat trojici nutných podmínek potenciálnosti pole  F,

  ,      a   ,

do formálně elegantnějšího tvaru  rot F = 0,  kde rot je vektorový operátor rotace [5].


[1] Bližší vysvětlení použitých pojmů můžete najít v Apendixu A2.

[2] Viz též kapitoly 2.3 a 6.2.

[3] Platnost této věty vyplývá okamžitě ze záměnnosti druhých derivací potenciálu pole  F.

[4] Níže v této kapitole je ukázáno, že v rovině a v prostoru jsou tyto podmínky postačující, jsou-li splněny na jednoduše souvislé oblasti.

[5] Viz kapitola 6.4.