Jedná se o homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Nejprve řešíme tzv. charakteristickou rovnici
=0 (získáme ji formálním nahrazením n-té derivace n-tou mocninou):
Charakteristická rovnice má kořeny α1=1 a α2=α3=2 (dvojnásobný kořen). Fundamentální systém řešené rovnice tvoří funkce
=
,
=
a
=
(obecně jsou-li všechny kořeny
charakteristické rovnice navzájem různé, je fundamentální systém tvořen funkcemi
=
a je-li některý kořen
r-násobný, ve fundamentálním systému mu odpovídá r funkcí
=
,
=
,
.... ,
=
). Obecné řešení diferenciální rovnice je dáno lineární kombinací funkcí fundamentálního systému:
Jedná se o homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Charakteristická rovnice má tvar
=0, její řešení jsou:
Fundamentální systém tvoří funkce
=
a
=
, vhodnější je však použít reálný fundamentální systém
=
a
=
. Obecné řešení diferenciální rovnice je opět dáno lineární kombinací funkcí fundamentálního systému:
Jedná se o nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Obecné řešení budeme hledat ve tvaru součtu obecného řešení homogenní rovnice
a libovolného partikulárního řešení
nehomogenní rovnice, tedy y=
.
Nejprve řešíme homogenní rovnici
=0. Charakteristická rovnice
=0 má dvojnásobný kořen
=1:
Obecné řešení je proto ve tvaru
=
. Nyní potřebujeme nalézt partikulární integrál
. Pravá strana původní rovnice je ve speciálním tvaru
, v našem případě je a=2, b=0 a P(x)=1. Žádný z kořenů charakteristické rovnice není roven
=2, můžeme proto předpokládat partikulární řešení ve tvaru
=
, kde A je polynom nultého řádu. Předpokládané partikulární řešení dosadíme do výchozí (tzn. nehomogenní) rovnice a rovnici vzhledem k A vyřešíme:
Neboli polynom nultého řádu je A=1, z čehož přímo plyne
=
. Obecné řešení zadané nehomogenní rovnice tedy je:
Jedná se o nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Obecné řešení budeme hledat ve tvaru součtu obecného řešení homogenní rovnice
a libovolného partikulárního řešení
nehomogenní rovnice, tedy y=
.
Fundamentální systém tvoří funkce
=
a
=
, vhodnější je však použít reálný fundamentální systém
=
a
=
. Obecné řešení homogenní diferenciální rovnice je opět dáno lineární kombinací funkcí fundamentálního systému:
Hledejme dále partikulární integrál
. Pravá strana nehomogenní rovnice je ve speciálním tvaru
, v našem případě je a=0, b=0 a P(x)=
. Žádný z kořenů charakteristické rovnice není roven
=0, můžeme proto předpokládat partikulární řešení ve tvaru
=
. Neznámé koeficienty
určíme metodou neurčitých koeficientů; předpokládané partikulární řešení dosadíme do nehomogenní rovnice a po derivování získáme:
Požadujeme, aby rovnice
byla splněna identicky, tzn. pro všechna x; to je splněno tehdy, jsou-li koeficienty u jednotlivých mocnin x nulové, čili pro koeficienty
platí soustava rovnic:
a2=1;
Tuto soustavu vyřešíme:
.
